ONLINE MATEMATIKA TANFOLYAM (ALGEBRA, GEOMETRIA)
A LOGARITMUSOK ALKATRÉSZEI
Kapcsolódó témák:
A logaritmus tört részét általában tizedesjegyként írják. A logaritmus számszerű egész számának és a tizedes résznek külön nevet adtak, mivel mindegyik különleges szerepet játszik a logaritmus által képviselt számhoz képest. A logaritmus egész numerikus részét JELLEMZŐNEK nevezzük. A logaritmus ezen része jelzi a tizedespont helyzetét a társított számban. A logaritmus tizedes részét MANTISA-nak hívják.
A 4570 decimális logaritmusa 3,65992; a 3. ábra a jellemző; a tizedes tört a mantissa, mindkét rész nem nulla; a 3 logaritmusnál, amely 0,47712, a karakterisztika null; 10 egész kitevő hatványainak decimális logaritmusa nulla mantissával.
Az 1 logaritmusa bármely rendszerben mindkét része null.
Egy számot alkotó számjegyek egy bizonyos sorozatánál a közös logaritmus mantissa mindig megegyezik, függetlenül attól, hogy a számban milyen tizedespont áll. Például, log 5270 = 3,72181; a mantissa az 0,72181 és a jellemző az 3.
JELLEGZETES
A közös logaritmus jellemzői jelzik a tizedespont helyzetét a társított számban. Egy adott számra a jellemzőt megfigyeléssel találjuk meg. Emlékeztetni kell arra, hogy a közös logaritmus egyszerűen egy 10 bázis kitevő.
Amikor írunk log 360 = 2,55630, megértjük, ez azt jelenti 10 2,55630 = 360. Tudjuk, hogy a szám 360, és nem 36 vagy 3600, mert a karakterisztika 2. Tudjuk, hogy a 10 1 értéke 10, a 10 2 az, a 100 és a 10 3 értéke 1000. Ezért az a szám, amelynek értéke 10 2,55630, 100 között lesz és 1000, majd ebben a tartományban minden szám három számjegyből áll.
Tegyük fel, hogy a karakterisztika 1 volt: hová kerül a szám tizedespontja? Mivel a 10 1 értéke 10, a 10 2 pedig 100, minden olyan számnak, amelynek logaritmusa 1 és 2 között van, 10 és 100 között kell lennie, és 2 számjegyből áll. Vegye figyelembe, hogy a tizedespont helyzete hogyan változik a jellemző értékkel a következő példákban:
log 36 000 = 4,55630
log 3.600 = 3.55630
log 360 = 2,55630
log 36 = 1,55630
log 3,6 = 0,55630
Vegye figyelembe, hogy a tizedespont mozgatásakor csak a karakterisztika változik. Ez a 10. alap használatának előnye: ha a jellemző ismert, akkor a tizedespont könnyen megtalálható, ha a szám ismert, akkor a jellemzőt megfigyeléssel határozzuk meg; vagyis a tizedespont elhelyezésének megfigyelése.
Bár a logaritmus teljes ismeretéhez meg kell értenünk a karakterisztika összefüggését a 10 teljesítményével, a jellemzőt a következő szabály alkalmazásával lehet mechanikusan meghatározni:
1. 1-nél nagyobb szám esetén a karakterisztika pozitív, és eggyel kevesebb, mint a szám tizedespontjától balra levő számjegyek száma.
2. 1-nél kisebb pozitív szám esetén a karakterisztika negatív, és abszolút értéke 1-gyel nagyobb, mint a tizedespont és a szám első nullától eltérő nulláinak száma.
A 8-5. Táblázat példákat tartalmaz az egyes jellemzők típusaira.
8-5. Táblázat Pozitív és negatív jellemzők.
ALAPVÁLTOZÁS
Tekintettel egy szám logaritmusára egy rendszerben, annak logaritmusa bármely más rendszerben kiszámítható, ez a probléma az alapváltozás néven ismert.
Lenni x logaritmusa P a bázison nak nek; logaritmusa P a bázison b.
A létért x logaritmusa P, a bázison nak nek a kapcsolat igazolt P = a x, logaritmusokat vesz a tövénél b, ebben az egyenlőségben azt eredményezi: logbP = x logba; helyettesítő x egyenrangúja által logaP, neked van: logbP = logaP. logba: amelyet szavakkal fejezünk ki: ha az egyik bázis számának logaritmusa ismert, akkor ekvivalense megtalálható egy másikban, szorozva azt a második bázis logaritmusával.
Így haladsz a bázistól és alapozni 10 rakás: log10P = logeP. 0,43429 … Ezt az arányossági tényezőt transzformációs modulnak hívják, és a betű jelképezi M. Adott logaritmus kifejezése a bázis 10 bázisában és, az előző állítást alkalmazva megvan a kapcsolat logeQ = log10Q. loge10 = log10Q. 2.30259; Ez az arányossági tényező az előző reciprokja, tehát a 1/M.
SZÁM KOLOGARITMUSA
Meghatározás. Ennek a megváltozott előjelnek a logaritmusát hívjuk egy szám cologarithmájának. Jelképekkel: n = - log n cologaritmusa.
A Cologarithm rövidítéssel rövidítéssel történik köln.
A definícióból az következik log n + kölni n = 0. tehát arra a következtetésre jutottak, hogy a köln egy szám a nullához való kiegészítése; és azóta
log 1/n = - log n, Azt is lehet mondani, hogy a köln egy szám logaritmusa annak reciprok.
A most definiált fogalom fontossága abban rejlik, hogy a logaritmusok összegében a negatív tagok helyettesíthetők az adott összeadás előjelét megelőző megfelelő kölaritmusokkal.
Gyorsan megkapjuk egy szám cologarithmáját, logaritmusára tekintettel, kivonva 10-ből a mantissza jobb oldalán található első nem nulla számot, 9-ből a bal oldalon lévő fennmaradó számot a tizedesjegyig; egy pozitív egység hozzáadódik a karakterisztikához, és ennek az összegnek a jele megváltozik.
A logaritmus antilogaritmusa
Igen o a logaritmusa n alaprendszerben nak nek Az emberek ezt mondják n ő antilogaritmus nak,-nek o az említett bázison.
A definícióból tehát az következik, hogy annak lennie kell n = a P, Vagy mi ugyanaz: n = loga n
Példa: Mivel a log10615 = 278888 antilog. 2,8888 = 615.
PROBLÉMA GYAKORLAT:
Az 1–4. Feladatba írja be az egyes számok logaritmusának jellemzőit! 5-től 8-ig tegye a tizedes pontot az egyes számokba, az egyes számokra megadott (c) karakterisztikával jelezve.
1. 4,321 két. 1.23 3. 0,05 4. 12.
5. 123.; c = 4 6. 8,210; c = 0
7. 8; c = -1 8. 321; c = -2
1. 3 két. 0 3. -két 4. 1
5. 12,300 6. 8,1210 7. 0.8 8. 0,0321
NEGATÍV JELLEMZŐK
Ha egy jellemző negatív, például -2, akkor nem végezzük el a kivonást, mivel ez negatív mantissával járna. A negatív jellemző jelzésére többféle mód van. A Mantissák, amint azt a függelék táblázatai mutatják be, mindig pozitívak, és a jellemző előjelét külön meg kell jelölni. Például,; a 2 fölötti sáv azt jelzi, hogy csak a jellemzõ negatív; vagyis a logaritmus -2 + 0,36173.
A negatív jellemző jelzésének másik módja, ha a mantissa után helyezzük el. Ebben az esetben 0,36173 -2-et írunk.
A harmadik módszer, amelyet ebben a fejezetben lehetőség szerint alkalmaznak, az, hogy hozzáad egy bizonyos összeget. a karakterisztikát és ugyanezt az összeget vonja jobbra a mantiszában. A példa esetében írhatunk:
Ebben a formában a logaritmus értéke változatlan marad, de most pozitív tulajdonságokkal és mantissával rendelkezünk.
MANTISA
A mantissa a logaritmus tizedes része. A logaritmus táblázatok általában csak mantiszákat tartalmaznak, mivel a jellemző könnyen meghatározható, amint azt korábban kifejtettük. A 8-6. Táblázat felsorolja a különféle tizedespontok jellemzőit, a mantissza és a logaritmust a 4, 5, 6 számjegysorozat segítségével. Meg kell jegyezni, hogy a mantissza nem változik ennél a bizonyos számjegysorozatnál, függetlenül a tizedesvessző.
PROBLÉMA GYAKORLAT:
Határozza meg a következő számok logaritmusát:
1. 64. két. 98 3. 6400 4. 9.8
1. 1.80618 két. 1.99123
3. 3.80618 4. 0,99123
MŰVELETEK LOGARITMUSOKKAL
Az alábbiakban kifejtett műveleteket pozitív mantissa logaritmusával hajtjuk végre.
ÖSSZEG
Ha a jellemzők mindegyike pozitív, akkor az adott logaritmusok összege a tizedesjegyek összegéig csökken. Ha a jellemzők mind negatívak, vagy vannak pozitívak, mások negatívak, akkor hozzáadják a mantiszákat, és ha ez az összeg tartalmaz egy egész számot (ami pozitív), akkor ezt a részt hozzáadjuk a jellemzők algebrai összegéhez. Mindkét eredmény esetén kialakul a logaritmusösszeg.
Ezt az esetet egy példával illusztráljuk. Lenni
a mantiszák összege 1,65610, a jellemzők és az egész 1 értéke
egyesítve mindkét eredményt, a javasolt összeg az 3,65610.
KÉT LOGARITMA VONATKOZÁSA
Ha a minuendák mantiszta nagyobb, mint a részfogásé, akkor a különbség az adott logaritmusok különbségének mantiszta; ha az első kisebb, mint a másodiké, akkor az előbbit 1-gyel, a karakterisztikát pedig negatív egységgel növeljük. A jellemző minden esetben a jellemzők különbsége a megadott sorrendben.
Mindezek a példák megoldhatók az alárendeltek kologarithmusainak felhasználásával.
SZÁM ÉS LOGARITMUS TERMÉKE
A példák bemutatják az egyes esetekben követendő eljárást.
1. 5 x log 217 = 5 x 2,33646 = 11,68230. Elég, ha megszorozzuk őket a tizedes számok szabályaival.
két. 0,4 x log 0,00715 = 0,4 x 3,85431. A karakterisztikát és a mantissát külön megszorozzuk, és az eredményeket hozzáadjuk:
Logaritmus hányadosa számmal
1. Ha a logaritmus és a szám pozitív: Két pozitív racionális szám hányadosa.
2. Ha a logaritmus negatív jellemzője az osztó többszörösének, és ez pozitív, akkor az eredmény:
A karakterisztikát elosztjuk az osztóval, amely negatív lesz, és a tizedesvesszővel elválasztva a hányados a mantissával folytatódik, ebben az esetben pozitív.
3. Ebben a példában,
a jellemző negatív, de nem osztója az osztónak; akkor annyi negatív egységet adunk hozzá, amennyire szükséges, hogy az osztó legkisebb többszöröse eredményt adjon, a mantiszához pedig ugyanannyi pozitív egységet; külön-külön osztják el az egyik és a másik részt, majd összerakva egyetlen számot alkotnak, de tizedesvesszővel elválasztva.
Ha az osztó negatív volt, akkor ez a jel befolyásolja az osztalékot, és így a már tárgyalt esetek egy részéhez vezet.
Két logaritmus hányadosa (ne keverje össze a hányados logaritmusával).
ebben az esetben mindkét tizedes szám hányadosát adjuk meg.
"
a negatív részt elválasztjuk a pozitív résztől, a hányadost külön kell megadni:
amellyel egyetlen szám képződik. Minden esetben két logaritmus hányadosa két pozitív vagy negatív tizedes kifejezés hányadosához vezet, ami ennek egyedi jelét eredményezi.
Negatív valós számokkal végzett műveletek
Bár a negatív számoknak nincsenek logaritmusai a valós mezőben, ez nem jelenti azt, hogy használatuk minden műveletben tilos, ha megfelelően értelmezhetők.
Példa: Olyan tényezők szorzatában, amelyekben előfordulnak negatívumok, az ilyen termék előjele előre meghatározandó; akkor úgy fog működni, mintha pozitív számok lennének, és az eredményt ez a jel befolyásolja. Ugyanez vonatkozik a hányadosra stb.
Logaritmikus egyenlet
A változóban szereplő logaritmikus egyenletet egy változó egyenletének nevezzük, amelyben az ismeretlen például logaritmusnak van kitéve. loga x + loga m = n, hol m Y n valós számok. Vagy más módon: A logaritmikus egyenlet az, amelyben az ismeretlen vagy az ismeretlent tartalmazó polinomok logaritmusai jelennek meg, például:
A logaritmus törvényeinek ismerete és alkalmazása az alapja a logaritmikus egyenletek megoldásának.
Az egység logaritmusának értékét meghatározó tulajdonságból az következik, hogy:
Példák:
Oldja meg a következő egyenleteket .
Ez az úgynevezett exponenciális egyenlet változóban egy olyan változó egyenletéhez, amelyben az ismeretlen például a kitevőben szerepel, m x + n x = r, hol m, n Y r valós számok.
Példák:
Oldja meg a következő egyenleteket,
www.sapiensman.com/ESDictionary - Műszaki angol - spanyol szókincs