Ma javaslatot teszünk egy kis kihívásra, amely az egyik legérdekesebb ághoz kapcsolódik Gazdaság (különösen azok számára, akik a tudomány és a mérnöki világból származnak), ami a választás bizonytalan tanulmányozása. Arról van szó, hogy hozzáadjuk a Valószínűségi elmélet a szokásos gazdasági modellekhez és tanulmányozza a szerencsejátékok és lottó (egy olyan koncepció, amely alapvetően bármely valós élethelyzetre alkalmazható, mivel döntéseink eredménye általában külső véletlenszerű tényezőktől függ).

várható értéke

Kezdjük várható érték a szerencsejáték. Ez nem más, mint az átlagos nyereség, amelyet az említett játék során kapunk. Tegyük fel például, hogy egy játék során hét eurót kapunk, ha 6-at dobunk egy kockára, és egy eurót, ha bármilyen más számot dobunk. Hét euró megszerzésének 1/6-os valószínűsége van, euróhoz pedig 5/6. Ezért ennek a játéknak a várható értéke lesz 1/6 7 + 5/6 1 = 2. Vagyis, ha sokszor játszunk, akkor átlagosan körülbelül két eurót kapunk pörgetésenként.

Matematikai szempontból egyértelműnek tűnik, hogy egy játék "tisztességes", ha az általunk fizetett ár megegyezik a várható értékkel. Ha két eurót fizetünk minden alkalommal, amikor játszunk, senki nem csal meg minket, és nem profitál rendkívüli mértékben. A bank nem keresne pénzt azzal, ha két eurót kér meg pörgetésenként, mivel átlagosan két eurót fizetnének pörgetésenként. Ez az érvelés elsöprően logikusnak tűnik. És mégis mintegy 300 évvel ezelőtt, Nicholas bernoulli talált egy jelentős repedést, ami a Szentpétervári paradoxon.

Bernoulli a következő kihívást tűzte ki maga elé: tegyünk fel egy játékot, amely egy érme feldobásából és a lehető legtöbb fej megszerzéséből áll, amíg a farok nem jön ki és a játék le nem áll. Valahányszor új arc jelenik meg a díj, amíg egy keresztet nem húznak, majd a játékos elveszi az összes felhalmozott nyereményt.

Vagyis, ha az első tekercs farok, akkor semmi sem nyerhető; ha az első fej és a következő farok, akkor két eurót nyer; Ha két fej és egy farok kerül elő, négyet nyernek, és így tovább. Például, ha lenne valaki olyan szerencsés, hogy tíz fejet kapna egymás után, mielőtt farka kerülne, akkor 2 10 eurót, azaz 1024 eurót nyerne.

Mi a játék várható értéke? Lássuk, az arc megszerzésének lehetősége 1/2, nyereménye 2 euró; a két arc felvétele (1/2) · (1/2), a nyeremény pedig 4 euró; Három arcot kap (1/2) · (1/2) · (1/2), és 8 eurót nyernek. könnyen belátható, hogy a várható érték az 2/2 + 2 2/2 2 + 2 3/2 3 +. = 1 + 1 + 1 + 1 +. a végtelenig!

Frissítés: Az előző bekezdésben az esélyek valóban helyesek, ha figyelembe vesszük, hogy az első dobás nem farok. Szigorúan az összes megadott valószínűséget el kell osztani 2-vel, így a fej megrajzolásának valószínűsége valójában 1/4 lenne (az elsőben a fej, a másodikban a farok és a nyeremény rendeződik). De egyáltalán nem befolyásolja az érvelésünket: a fél végtelen még mindig ugyanolyan végtelen!)

A paradoxon azt eredményezi, hogy a szerencsejáték, amelynek várható értéke végtelen. És mégis abszurd azt gondolni, hogy a "végtelen" méltányos ár lehet a játék. Valójában, ha elvégeznénk egy felmérést, akkor valószínűleg kevesen lennének hajlandók részt venni, ha öt-hat eurónál többet fizetnének. Úgy tűnik, hogy a szerencsejáték "méltányos árával" kapcsolatos első érvelésünknek van néhány komoly hibája. De ami?

A megoldás hamarosan, addig is arra kérjük Önt, hogy egy kicsit gyűjtse össze az agyát (nincs keresés a Wikipédiában és az eredmény közzététele;)). Tipp: a pénz nem ér annyit a matematikusok számára, mint a hétköznapi halandók számára.