Laplace-től

Tartalom

1 Méretek

1.1 Közvetlen és közvetett intézkedések

Legegyszerűbb változatában a intézkedés egy kísérleti eredmény és egy minta összehasonlítása (mértékegység). Vagyis amikor azt mondják, hogy egy távolság 3 m, akkor azt mondják, hogy a mért hosszúság háromszorosa a szokásos mérésnek, 1 m.

méretek

Közvetett vagy származtatott mennyiségek közvetlen kísérleti mérések sorozatából nyerhetők. Például egy téglalap alakú helyiség alapterületének méréséhez elegendő megmérni a két oldal hosszát és alkalmazni a képletet S = bh . Ezeknek a kapcsolatoknak a megléte lehetővé teszi számunkra, hogy meghatározzuk az alapok és a derivatívák nagyságát.

1.2 Egy mennyiség méretei

Függetlenül attól, hogy a fizikai mennyiség kifejezésére milyen mértékegységet használnak, ezeket különféle típusokba sorolják, attól függően, hogy miként adhatók hozzá. Például hozzáadhatunk 3 km távolságot 2 mérföld távolsághoz, vagy hozzáadhatunk 5 kg-ot 3 fonthoz, de tudjuk, hogy helytelen 3 km-t hozzáadni 5 kg-hoz. Látjuk, hogy van valami alapvetőbb, mint a mértékegység, és ez a kérdéses nagyságrend típusa: távolság, tömeg, idő, ... Ezeknek a típusoknak mindegyikét ún. dimenzió és azt mondjuk, hogy egy mennyiségnek "távolságmérete" vagy "tömegmérete" van.

1.3 Dimenziós homogenitás

A nagyságrendek osztályozásához a dimenziós homogenitás elve amely kimondja, hogy:

Minden egyenletben és összegben az egyező vagy hozzáadott kifejezéseknek azonos dimenziókkal kell rendelkezniük.

Ez egy divatos módja annak, hogy "nem adhatunk körtét az almához". Ez az elv rendkívül hasznos eszköz a hibák kiszámításához a számításokban. Képzeljük el, hogy egy probléma eredményeként az erő egyenlő

lény r egy rádió és NAK NEK egy állandó. Ez az egyenlet szükségszerűen téves, anélkül, hogy bármilyen számértéket kellene helyettesíteni. Hozzáadunk egy távolságot, r, (amelynek hosszméretei vannak) négyzetes távolsággal (amely terület lenne). Mivel ezeknek a mennyiségeknek különböző dimenziói vannak, az egyenlet nem érvényes.

Itt van egy másik példa egy méretben hibás egyenletre:

A dimenziós homogenitás lehetővé teszi, hogy gyorsan megtalálja a hibákat a probléma eredményeiben.

A mennyiségek közötti kapcsolat nem jelent konkrét egységet (csak a méreteket). Amikor azt mondjuk, hogy Sevilla és Cádiz közötti távolság megegyezik Sevilla és Huelva közötti távolsággal, nem mindegy, hogy kilométerben vagy hüvelykben mérjük. Ezért helytelen olyan törvényt írni, mint

(rossz kifejezés)

mivel az energiát kifejezhetnénk ergben, kalóriában, kilowattórában vagy sok másban, attól függően, hogy hogyan mérjük a tömeget vagy a sebességet. Ezért a szabály az, hogy ha egy képlet tisztán algebrai, ne egységeket kell tartalmazni. Ezzel szemben, ha egy vagy az összes numerikus értéket helyettesítjük, akkor az kívánt egységeket tartalmazni.

1.4 Méretegyenletek

Bár különböző nagyságrendeket nem lehet hozzáadni, meg lehet szorozni. Oszthatunk egy távolságméretű mennyiséget egy időmérettel, és egy sebességméretű mennyiséget kaphatunk. Ezt a relációt írjuk

ahol a zárójel a "méreteket" jelenti. Ragaszkodnunk kell ahhoz, hogy ez az egyenlet ne mondja meg nekünk, hogy a sebesség megegyezik az idővel osztott térrel, hanem hogy egységei olyan távolságok, amelyeket elosztunk egy idővel (ami lehet például m/s vagy km/h).

A dimenziós homogenitás lehetővé teszi számunkra az ismeretlen mennyiségek dimenzióinak meghatározását. Így Hooke törvényében

elmondja nekünk, hogy az állandó k erőmérete osztva a távolsággal

(például N/m-ben mérik).

A dimenziók közötti kapcsolatok megléte lehetővé teszi számunkra, hogy a mennyiségeket alapokra és deriváltakra osztjuk. Olyan kapcsolatról, mint

azt kapjuk, hogy a terület méretei megegyeznek egy négyzetnyi távolsággal, amelyet így írhatunk

Ily módon bármely mennyiség dimenziói kifejezhetők az alapvető mennyiségek sorozatának hatványaként.

Így például a sebesség megegyezik a távolság hányadosa osztva egy időintervallummal, és ezért a dimenziós egyenletet ellenőrizzük

Itt a távolságot és az időt alapvető mennyiségeknek, a sebességet pedig mennyiségnek tekintjük derivált.

Az alapvetőnek választott nagyságrendek, sőt számuk is önkényes. Az SI-ben hét alapvető mennyiség van: hossz, idő, tömeg, az elektromos áram intenzitása, anyagmennyiség, termodinamikai hőmérséklet és fényintenzitás. Az összes többi származik.

Minden származtatott mennyiségnek egy dimenziós egyenlete van, amelyet az alapmennyiségek különböző kitevői jellemeznek.

Nagyságráta-méretek
Terület [S] = [x] két
Hangerő [V] = [x] 3
Sebesség [v] = [x]/[t]
Gyorsulás [nak nek] = [v]/[t]
Kényszerítés [F] = [m] [nak nek]
Munka [W] = [F] [x]
Erő [P] = [W]/[t]

Figyelembe véve az egyenletben megjelenő különböző mennyiségek dimenzióegyenleteit, szisztematikusan megállapíthatjuk, hogy dimenzióban helyesek-e.

Így például a talajjal való ütközés sebességének egyenlete

val vel h a kezdő magasság, v ütés sebessége és g a gravitáció gyorsulása találkozik

és ezért méretileg helyes.

Meg kell ismételni, hogy a homogenitás független a mennyiségek mérésére használt egységektől. Mindannyian, amit tudunk, h ligákban mérhető, és v mikronban/hét. A mennyiség méretei valamivel alaposabbak, mint az egységek, amelyekben mérik őket.

2 mértékegység

A mértékegységek tetszőlegesek, és sok esetben konkrét egységeket határoznak meg egy adott problémához. Például, amikor azt mondják, hogy baleset történt félúton Sevilla és Madrid között, a Sevilla és Madrid közötti távolságot mértékegységnek tekintik, és azt mondják, hogy a baleset x = 0,5vagy .

Annak érdekében, hogy az eredmények könnyen értelmezhetők és más helyzetekbe átvihetők legyenek, előnyösebb egy szabványosított egységrendszert használni. A használt egységek különböző rendszerei közül Spanyolországban a legelfogadottabb és törvényileg kötelező a Nemzetközi Egységrendszer (SI), amely a francia forradalom során kifejlesztett tizedes metrikus rendszerből fejlődött ki.

2.1 Homogenitás az egységekben

Különböző nagyságrendű értékeket összekapcsoló képletben, ha ezek értékei helyettesítve vannak, beleértve az egységeiket is, meg kell valósítani az egységek közötti homogenitást is, vagyis az első tagot ugyanazokban az egységekben kell mérni a második. Tegyük fel például, hogy a fenti egyenletben; Y. Ebben az esetben a kapott sebesség az lenne

Ez az eredmény, bár algebrai szempontból helyes, az egységek töredékhatásainak megjelenése miatt nem rendelkezik kényelmes formával. Ezért biztosítani kell, hogy az egységek használata következetes legyen. Magasság méterben kifejezve

Ez a példa azt a veszélyt szemlélteti, hogy numerikus értékeket helyettesítenek-e a mennyiségekkel anélkül, hogy a megfelelő egységeket felvennék. Abban a kérdésben, hogy mekkora a sebesség, több adat nélkül a "14" válasz abszolút téves lenne.

2.2 Az egységek nemzetközi rendszere

Ez az egységrendszer Spanyolországban kötelező az R.D. 2032/2009 (BOE, 2010. 01. 21., felülvizsgált: 2010. 02. 18.).

Az SI hét alapegységen alapul:

Nagyságegység-rövidítés
Hossz méter m
Tömeg kilogramm kg
Idő második s
Áramerősség erősítő NAK NEK
Hőfok Kelvin K
Anyagmennyiség anyajegy anyajegy
Fényerősség gyertya CD

Ezekből az alapegységekből végtelen származtatott egységet építenek fel, az alapegységek hatványainak szorzatával. Sok ilyen egységnek megvan a saját neve, így például 1 hertz (Hz) egyenlő 1 s -1, 1 newton (N) 1 kg · m/s² és 1 joule (J) 1 kg · m²/s².

Ahhoz, hogy származtatott egységeket kapjon az SI-ben, csak alkalmazza a dimenzióegyenleteket. Így a fenti nagyságrendeknél

Nagyságméretek SI egység
Terület
Hangerő
Sebesség
Gyorsulás
Kényszerítés
Munka
Erő

Külön említést érdemel egy dimenzió nélküli egység: a radián.

A radiánban mért szöget úgy definiáljuk, mint a kerület ívének hossza és a kerület sugara közötti hányadost.

vagyis a radián egy másik módja az egység hívásának, amely információt szolgáltat az általuk mért nagyságról. Tehát az ω szögfrekvencia és az f természetes frekvencia közötti összefüggésben

az első nagyságot rad/s-ban, míg a másodikat Hz = 1/s-ban mérjük. Ez az egyenlet méretileg helyes, mivel a radián dimenzió nélküli. Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy a radián olyan egység, amely tetszés szerint megjelenhet és eltűnhet az egyenletekből.

2.3 Többszörös és többszörös

Az SI-egységek túl nagyok vagy túl kicsiek lehetnek egy adott problémához, ezért gyakran olyan előtagok kísérik őket, amelyek többszörös vagy többszöröseket jelölnek

10 n előtag-szimbólum 10 n előtag-jel
mondott ad 10 1 deci d 10 −1
hektóliter h 10 2 centi c 10 −2
kiló k 10 3 milli m 10 −3
mega M 10 6 mikro μ 10 −6
ráz G 10 9 báty n 10 9
tera T 10 12 csőr o 10 −12
peta P 10 15 femto F 10 −15
exa ÉS 10 18 atto nak nek 10 −18
zetta Z 10 21 zepto z 10 −21
yotta Y 10 24 yocto Y 10 −24

Sok egységnek, amely valóban az alapvető egységek többszöröse, megvan a saját neve. Így például 1 hektár (Ha) egyenlő 10000 m², 1 gramm pedig 0,001 kg (a kilogramm az alapvető egység).

2.4 Egységátalakítás

Gyakran szükség van egy bizonyos egységekben kifejezett mennyiség átalakítására egy másik egységrendszerré. A művelet végrehajtásának legszisztematikusabb módja az átváltási tényezők, amelyek olyan törtek, amelyek számlálója és nevezője megegyezik egy mennyiség azonos értékével, különböző egységekben kifejezve. Egy kifejezés egyik rendszerből a másikba történő átalakításához azt meg kell szorozni a szükséges konverziós tényezőkkel, amíg a végeredmény a kívánt egységekben nem lesz, amint a különböző frakciókban megjelenő egységeket törlik.

Így ha km/h-ról m/s-re haladna, az eljárás az lenne

Ne feledje, hogy fontos, hogy a számlálókban és a nevezőkben szereplő tényezők helyesen törlődjenek.

A szisztematikus eljárás egy olyan probléma megközelítésére, amelyben a különböző adatokat különböző rendszerek egységeiben adják meg, elsősorban abban áll, hogy az összes mennyiséget SI-vé alakítja át, kizárólag ebben a rendszerben működik (még ha ez számos (10) és végül alakítsa át a végeredményt a legkényelmesebb egységekre.