Szilárd, merev
Tevékenységek
A hintát kétféle módon használják:
Egy gyermek ül a deszkán, és egy személy periodikusan és fázisban nyomja a mozgását, hogy növelje vagy fenntartsa a hinta rezgéseinek amplitúdóját.
A hintára szerelt, a deszkán függőleges helyzetben lévő gyermek mozgatja testét, hogy növelje a rezgés amplitúdóját.
Az önjáró lengés működésének minőségi magyarázatához feltételezzük, hogy a gyermek tömegközéppontja hirtelen emelkedik vagy esik az oszcilláció bizonyos pozícióiban.
Egyszerűsített elemzést végeznek, amelyben a gyermeket a tömegközéppontjában elhelyezkedő ponttömegnek tekintik, amely emelheti vagy csökkentheti a cm-t. egy hossza δ belső erők hatására. A levegő súrlódását és a lengés tengelyét szintén elhanyagoljuk.
A mozgás szakaszai
Ebben a szakaszban részletes elemzést készítünk a lengési rezgések ciklusának egyes szakaszairól.
Első fázis
A hinta elhagyja a helyzetet θ0 nulla kezdeti szögsebességgel ω= 0. Érje el az egyensúlyi helyzetet θ= 0, szögsebességgel ω1, amelyet az energiatakarékosság elvének alkalmazásával számolnak.
hol md 2 ponttömeg tehetetlenségi nyomatéka m milyen messze d az O forgástengely.
A kezdeti teljes energia E1=mgd(1-cosθ0)
Második szakasz
Amikor a lengés eléri az egyensúlyi helyzetet θ= 0, a gyermek megnöveli tömegközéppontját (c.m.) δ. Ebben a pontos pillanatban a lengésre ható erők nyomatéka nulla (az összes erő áthalad az O origón), a szögimpulzus állandó marad.
A kezdeti szögimpulzus az md 2 ω1
A végső szögimpulzus az m (d-8) 2 w2
Végleges szögsebesség ω2 növekszik, amikor a forgástengely távolsága csökken.
A teljes energia
Energiamérleg
Az egyensúlyi helyzetben számolunk θ= 0, a kezdeti energia, a végső energia és az a munka, amelyet a belső tér erőltet magasságának emelésére δ a gyermek tömegközéppontja.
A kezdeti energia az
A végső energia az
A gyermek számára, hogy emelje tömegközéppontját δ, munkát kell végeznie. Minimális erő F hogy meg kell erőltetniük izmaikat kompenzálniuk kell a súly összegét mg és a centrifugális erő mω 2 x. Lény x a tömegközéppont és az O forgástengely távolsága.
A szögimpulzus állandósága az egyensúlyi helyzetben θ= 0 adja meg a szögsebesség értékét ω amikor a c.m. távolságra van x az O forgástengely
md 2 ω1= mx 2 ω
Az erő F ugyanolyan értelme van, mint az elmozdulás, a munka pozitív
Megállapítottuk, hogy a belső erők által végzett munka a c.m. egyenlő a végső és a kezdeti energia különbségével.
Harmadik szakasz
Most az első lépéssel ellentétes helyzet áll rendelkezésünkre, a kezdeti szögsebességű lengés ω2 helyzetben θ= 0, eléri a maximális szögeltolódást θ1. Az energiatakarékosság elvének alkalmazása
A maximális szög θ1 hogy a hinta eltér, az előző kifejezéseket kombinálva
Mit d>(d-5) kiderült, hogy θ1>θ0
A teljes energia
E2=mg(d- δ) (1-cos θ1)+mg 5 = mgd (1-cos θ1)+mg 5 kötözősaláta θ1
Negyedik szakasz
A legnagyobb eltérés szöghelyzeténél θ1, szögsebesség ω= 0. A gyermek alacsonyabbra teszi tömegközéppontjának helyzetét δ.
Az egyetlen változás, amelyen a rendszer átesik, a belső erők munkájának eredményeként bekövetkező potenciális energia csökkenése. Az O tengely felhelyezése a potenciális energia nulla szintjén.
ΔEp=-mgdkötözősalátaθ1+mg(d-5) cosθ1= -mgδkötözősalátaθ1
A teljes energia
Ötödik szakasz
Az első szakaszhoz hasonlóan a lengés a stabil egyensúlyi helyzet felé halad θ= 0, amely szögsebességgel ér el ω3. Az energiatakarékosság elvének alkalmazása
A teljes energia E3
Hatodik szakasz
A hatodik szakasz hasonló a második szakaszhoz. Stabil egyensúlyi helyzetben a tömegközéppont magasságot emel δ. A szögsebesség ismét növekszik ω3 nak nek ω4. A szögimpulzus állandósága a stabil egyensúlyi helyzetben θ= 0, megadja a végső szögsebesség értékét ω4.
A teljes energia
Hetedik szakasz
A hetedik szakasz hasonló a harmadik szakaszhoz. A lengés a stabil egyensúlyi helyzetből indul θ= 0, kezdeti szögsebességgel ω4, maximális elmozdulás elérése θ2 az energiatakarékosság elvének alkalmazásával nyert
Mit ω4> ω3 a maximális elmozdulás θ2 > θ1
Mindkét elmozdulást a képlet segítségével kapcsoljuk össze
A teljes energia
E4=mg(d- δ) (1-cos θ2)+mg 5 = mgd (1-cos θ2)+mg 5 kötözősaláta θ2
Nyolcadik szakasz
A teljes energia
Swing mozgásegyenletek a középső és a szélső helyzet között
A lengés mozgásegyenlete a szélső pozíciók között θi (i = 0, 1, 2,3 .) és a stabil egyensúlyi helyzet θ =0, megegyezik egy hosszú ingával l = d, l = d-5, c.m. távolságától függően és a lengés O tengelye.
A tömeg egy részecskéjének szögmomentuma m az eredet tekintetében O a tehetetlenségi nyomaték szorzata ml 2 szögsebesség szerint ω, L = ml 2 ω
A pillanat M a részecskére ható erők O-eredete tekintetében
M = -mglsenθ
A mozgás egyenlete az dL/dt = M differenciálegyenletként van megírva
A kezdeti feltételek a mozgás minden szakaszától függenek:
- Az első szakaszban, l = d, θ = θ0, dθ/dt =0
- a harmadik szakaszban, l = d- 5, θ =0, dθ/dt = ω2
- az ötödik szakaszban, l = d, θ = θ1, dθ/dt =0
- a hetedik szakaszban, l = d- 5, θ =0, dθ/dt = ω4
- stb.
összefoglaló
A lengést először szöggel kell ellensúlyozni θ0> 0, hogy az ezen az oldalon leírt mechanizmus működhessen.
A c.m. a gyermek belső erők hatására azonnal felemelkedik és leesik, az egyensúlyi helyzetben és a maximális elmozdulás helyzetében.
A leírt mechanizmus segítségével a belső erők munkáját (az izmok működése) a lendület maximális elmozdulásának növelésére fektetik be, hogy θ0 5/d c.m.-től a gyermek szélső helyzetében és az oszcilláció közepén.
Példa
A kezdeti szögeltolódás θ0= 10є
C.m elmozdulása. δ= 6 cm = 0,06 m
Kezdeti távolság d= 1,0 óra között és az O forgástengely.
A teljes lengési művelet az ábrán látható
1.-A kezdeti energia az E1=mgd(1-cosθ0) =m9,8 1,0 (1-cos102) = 0,15m
2.-Az energiatakarékosság elvét alkalmazzák. Szögsebesség ω1 az egyensúlyi helyzetben az
3.-A tömegközéppont emelkedik, a szögimpulzus konzervált
md 2 ω1 = m(d-5) 2 ω2, ω2 = 0,62 rad/s
A teljes energia
4.-A kinetikus energia potenciálenergiává alakul, a lengés szöget zár be θ1
5.-A tömegközpont leereszkedik, a teljes energia
E5=m9.8·1 (1-cos11є) = 0,18m
6.-Az energia megőrzésének elvét alkalmazzák. Szögsebesség ω3 az egyensúlyi helyzetben az
7.-A tömegközéppont emelkedik, a szögimpulzus konzervált
md 2 ω3 = m(d-5) 2 ω4, ω4 = 0,68 rad/s
A teljes energia
8.-A kinetikus energia potenciálenergiává alakul, a lengés szöget zár be θ2
9.-A tömegközpont leereszkedik, a teljes energia
E9=m9.8·1 (1-cos122) = 0,22m
10.-Új ciklus kezdődik.
A maximális elmozdulásokat a képletek segítségével lehet kiszámítani
Ugyanezt a képletet alkalmazzuk a maximális elmozdulás kiszámításához θ2, ismert θ1.
stb.
Az interaktív program úgy lett kialakítva, hogy a maximális elmozdulás legyen θi (i = 0, 1, 2,3 .) nem növekszik a végtelenségig. Ha ez az elmozdulás meghaladja a 75є-ot, akkor a δ. A c.m. csökken, amikor a lengés áthalad az egyensúlyi helyzeten θ =0 a szögsebesség csökkentésével ahelyett, hogy növelné. Energia szempontból azt mondjuk, hogy a belső erők negatív munkát végeznek, ami a végső energiát kisebb lesz, mint az eredeti.
A lengés amplitúdója csökken oszcillációs mozgásának minden ciklusában, amíg elméletileg végtelen idő után le nem áll. A gyakorlatban a levegővel és a tengellyel való súrlódás és más változók, amelyeket ebben az egyszerűsített modellben nem vettek figyelembe, bizonyos idő után abbahagyta.
Tevékenységek
A kezdeti szögeltolódás θ0> 0, egy fokos szög a szerkesztő vezérlőben Indítási szög
Elmozdulás δ A tömegközéppont cm-ben kiválasztott egy számot a szelekciós vezérlőben Elmozdulás kb.
A kezdeti távolság c.m.-től az O forgástengelyre állítva d= 1,0 m.
Nyomja meg a címet Indul
Megfigyelhető a hinta mozgása, és a c.m. helyzetének változása. piros ponttal ábrázolt gyermeké, amikor a lengés áthalad a maximális elmozdulás helyzetén ω= 0, a stabil egyensúlyi helyzethez θ= 0.
Az applet jobb oldalán a hinta teljes energiája jelenik meg. A potenciális energia nulla szintjét a c.m pályájának alsó részén, azaz a c.m. helyzetében állapították meg. amikor a hinta egyensúlyban van θ0= 0. Megfigyelhetjük, hol változik a teljes energia, és hol konzerválódik, átalakítva a potenciális energiát kinetikus energiává és fordítva.
Hivatkozások
Tea P., Falk H. Szivattyúzás egy hintán. Am. J. Phys. 36 (1968) 1165-1166