Előszó E könyv szerzői a párbeszéd legkifejezőbb formájában képesek voltak a program szinte valamennyi kérdését alaposan elemezni, különös tekintettel a nehezen érthető kérdésekre. A könyv részletesen elemzi a hallgatók által elkövetett legjellemzőbb hibákat. A szöveg egyedülálló, egyszerű és szórakoztató módon készült, a nehéz kérdéseket különböző szempontok szerint vitatják meg, a jól részletezett rajzok (amelyek a könyvben számosak) segítenek a szerzők gondolatának mélyebb megértésében. A munka szerzői a Moszkvai Elektronikus Gépgyártó Intézet professzorai. A szerzők magas jegyei, a kiállítás elevenségével és érthetőségével kombinálva, ez a könyv nagyon hasznos a hallgatók számára a fizika tanulmányaik kezdeti szakaszában. két
1. fejezet Ne hanyagolja el a filmeket! A test térben és időben történő mozgásának problémája mind a fizika, mind a gyakorlati szempontból nagyon érdekes. 1. TUDJA, HOGY GRAFIKAIAN ELEMZZE A RECTILINEÁRIS MOZGÁS KINEMATIKÁJÁT? TANÁR: Korábban már tárgyalt az egyenletesen változó egyenes vonalú mozgás sebességének és az út függvényében az idő függvényében. Ezzel kapcsolatban felteszem önnek a következő kérdést. Tegyük fel, hogy a sebesség-idő grafikon az 1. ábrán bemutatott formájú, ebből állítsa össze a megtett út grafikonját az idő függvényében. DIÁK: Soha nem rajzoltam ilyen grafikonokat. TANÁR: Ez egyáltalán nem bonyolult. Érveljünk együtt. Osszuk el a teljes eltöltött időt három intervallumra: 1, 2 és 3 (lásd 1. ábra). Hogyan mozog a test az 1. intervallum alatt? Mi lesz az ebben az intervallumban megtett út képlete? 3
TANULÓ: Az 1. intervallumban a test mozgása egyenletesen felgyorsul, kezdeti sebesség nélkül. A megtett út képlete ebben az esetben a következő: s (t) = 2/2 (1) pontnál, ahol a a test gyorsulása. 1. ábra TANÁR: Megtalálná a sebesség grafikonját felhasználva a gyorsulást? TANULÓ: Igen. A gyorsulás, amely a sebesség változását jelenti az időegységben, megegyezik az AB: OB szegmensek arányával. TANÁR: Jó. Most elemezzük a 2. és a 3. intervallumot. TANULÓ: A 2. intervallumban a testnek egyenletes mozgása van v sebességgel, amelyet az 1. intervallum végén ért el. A megtett út képlete: s = vt TANÁR: Az Ön válasza nem pontos. Nem vette figyelembe, hogy az egységes mozgás az i időpontban kezdődött, és nem a kezdeti pillanatban. 4-re
ezúttal a test már megtette az 1 t 2/2 egyenlő utat. A 2. intervallumban a megtett útnak az időtől való függése a következő kifejezést adja: s (t) = 1 2/2 + v-nál (t 2 - t 1) (2) Ezt a megfigyelést figyelembe véve írja le a képletet tanuló: A 3. intervallumban a mozgás egyenletesen késik. Ha jól értettem, ebben az esetben a megtett út képletének a következő kifejezést kell tartalmaznia: s (t) = 2 1/2 + v (t 2 - t 1) + v (t - t 2) - a 1 (t - t 2) 2/2 ahol a gyorsulás a 3. intervallumban van. Ez kétszer kisebb, mint az a az 1-ben gyorsulás, mivel a 3. intervallum kétszer olyan hosszú, mint 1. TANÁR: Képlete az, hogy kissé leegyszerűsítheti s (t) = 1 2/2 + v (t - t 1) - a 1 (t - t 2) 2/2 (3) Most egyszerűen hozzáadhatja az (1) (3) pontban kapott eredményeket. 2. ábra 5
DIÁK: Igen, értem. Az 1-ben a megtett út grafikonja egy parabola, 2-ben egy egyenes és végül a 3-as intervallumban ismét parabola, de fordított (felfelé domború). Ez az én grafikonom (2. ábra). TANÁR: A rajza nem teljesen helyes. A megtett út görbéje nem lehet törött vonal, azt sima vonallal kell ábrázolni, vagyis a parabolákat összekeverni az egyenes vonallal. Ezenkívül a második parabola csúcsának meg kell felelnie a t idő pillanatának. Ez a grafikon helyes (3. ábra). 3. ábra TANULÓ: Kérjük, magyarázza el. TANÁR: Elemezzük egy bizonyos időintervallum alatt megtett út egy másik grafikonjának egy részét (4. ábra). A test átlagos sebessége a t és t + t közötti intervallumban 6
hol van az AB húr és a vízszintes szöge. A test sebességének t időpontban történő kiszámításához meg kell találnunk az átlagos sebesség határát, amikor t 0 A határértéknél az akkord a görbe tangensévé válik az A pontban (lásd a pontozott vonalat a 4. ábrán). A sebesség értéke a t pillanatban megegyezik az A érintő meredekségével. Ezért a test sebessége az idő bármely pillanatában megtalálható a megtett út grafikonjának érintőinek meredeksége alapján. Térjünk vissza a grafikonra (2. ábra). Ebből arra a következtetésre jutunk, hogy a t 1 időpontban (és a t 2 időpontban) a test sebességének két különböző értéke van: ha balról közelítünk t, akkor a sebesség megegyezik tg 1-vel, míg ha közeledünk ugyanez a pont jobbról, a sebesség értéke megegyezik tg-vel 2 4. ábra 7
2. fejezet Az erő fogalma a fizika egyik alapfogalma. Tudná, hogyan kell ezt a koncepciót helyesen használni? Jól ismeri a dinamika törvényszerűségeit? 2. LEHET. MEGJELENIK, MILYEN ERŐK hatnak egy testre? DIÁK: Számomra a mechanikai problémák tűnnek a legnehezebbnek. Mi alapján induljon el a megoldás? TANÁR: A legtöbb esetben a testre ható erők elemzésével kell kezdeni. Vegyünk néhány példát (7. ábra): a) egy testet a vízszintessel szögbe dobunk; b) egy test csúszik le egy ferde síkon; c) egy kötélhez kötött test forog a függőleges síkon; d) egyszerű inga. Magyarázza el és készítsen diagramot a testekre kifejtett erőkről a fenti esetek mindegyikében. DIÁK: Ez az én grafikonom (8. ábra). Az első esetben: P a test súlya, F az indítóerő. A második esetben: P a súly; F, a csúszó erő; F r, súrlódási erő. A harmadik esetben: P a súly; F c. centripetális erő; T, a húr feszültsége. A negyedik esetben: P a súly; F, a visszaszolgáltatási erő; T, kötélfeszültség. 10.
7. és 8. ábra TANÁR: Minden esetben tévedett. Ez a helyes ábra (9. ábra). Nagyon jól meg kell érteni, hogy minden erő a testek kölcsönhatásának eredményeként jelenik meg. Ezért a testre kifejtett erők ábrázolásához először meg kell válaszolnunk a kérdést: Milyen testek lépnek kölcsönhatásba a tárgy tárgyával? Így az első esetben a Föld vonzza a vizsgált tárgyat, és ez az egyetlen test, amely kölcsönhatásba lép vele (9. ábra, a). Ezért a test csak egyetlen erő hatásának van kitéve: a saját súlyának. Ha figyelembe vesszük például a légellenállást vagy a szél hatását, akkor további kiegészítő erőket kellene bevezetni. Az "indító erők", amint azt az ábrán is jelzi, a természetben nem léteznek, mivel nincs kölcsönhatás, amely ilyen erő jelenlétéhez vezet. TANULÓ: De ha egy testet fel akar indítani, egy erőnek feltétlenül cselekednie kell rajta. tizenegy
TANÁR: Igaz. Ha testet dobsz, akkor bizonyos erőt fejtesz ki rá. Azonban a korábban tárgyalt esetben elemezzük a test mozgását a dobás után, vagyis miután eltűnik az ereje, amely bizonyos kezdeti indítási sebességet közölt a testtel. Lehetetlen erőket "felhalmozni"; amint a testek interakciója véget ér, az erők eltűnnek. 9. ábra TANULÓ: De ha a testén kívül más nem hat, csak a súlya, akkor miért nem esik függőlegesen, hanem inkább leír egy bizonyos pályát? TANÁR: Számodra furcsának tűnik, hogy ebben az esetben a test mozgásának iránya nem esik egybe a rá ható erő irányával. Mindez azonban teljes mértékben összhangban áll Newton második törvényével. A kérdésed arra utal, hogy nem gondoltad át alaposan Newton dinamikai törvényeit. Javaslom, hogy erről később térjen ki (lásd 4. pont), miközben egyelőre folytatom a test mozgásának előző négy példájának elemzését. 12.
Tanuló: A 2. test kölcsönhatásba lép: a Föld, a ferde sík, valamint az AB és CD húrok. A 2. testre kifejtett erőket a 13., b ábra mutatja. 13. ábra TANÁR: Tökéletesen. Most elemezzük a 3. testet. TANULÓ: A 3. test csak a Földdel és a CD-húrral lép kölcsönhatásba. A testre kifejtett erőket a 13. ábra, c. TANÁR: Miután megtalálta az egyes testekre kifejtett erőket, meg kell írnia mindegyikük mozgásegyenleteit, majd meg kell oldania a kapott egyenletrendszert. TANULÓ: Ön jelezte, hogy testek halmaza is elemezhető. TANÁR: Igen, az 1., 2. és 3. test együttesen is felfogható, egyetlen rendszerként. Ebben az esetben nem kell figyelni a húrok feszültségére, mivel ezek most belső erőknek számítanak, vagyis 17
Úgy borulok fel, hogy a test megfordul. Az anyagi pont mozgása csak transzlációs lehet. Lássunk egy példát: tegyük fel, hogy két erő hat egy testre különböző pontokon: F 1 az A pontban és F 2 a B pontban, amint azt a 14. a ábra mutatja. Alkalmazzunk egy F 2 erőt az A pontra; egyenlő és párhuzamos az F 2 -vel, megegyezik az F 2 erővel; egyenlő F 2-vel, de ellentétes irányban (lásd a 14. b ábrát). 14. ábra F2 erőként; és F 2, töröljék egymást, bevezetésük nem okoz fizikai változást. A 14., b. Ábra azonban a következőképpen kezelhető: az F1 és F2 erők az A pontra hatnak, ami a test elmozdulásához vezethet. Ezenkívül ugyanazon a testen pár erő hat (F 2 és F 2 erők), amelyek a tárgy forogására késztetik. Más szavakkal, az F erőt át lehet vinni az A pontba, amennyiben egyidejűleg hozzáadjuk a megfelelő fordulónyomatékot. 19.
DIÁK: Értem. Mivel a test nyugalomban van, akkor ez a statikus súrlódás ereje. Ezt a ferde síkkal párhuzamos irányban ható erők egyensúlyi körülményei alapján kell meghatározni. Ebben az esetben két erő van: az F r súrlódás és a P sin a testet csúszásra kényszerítő erő. Emiatt a helyes válasz F r = P sin a. TANÁR: Pontosan. Befejezésül elemezzük a 17. ábrán bemutatott következő problémát. Egy m tömegű blokk egy M tömegűre támaszkodik; a két blokk közötti statikus súrlódási erő maximális értékét a k 0 együttható képviseli, az M blokk és a Föld felszíne közötti súrlódást elhanyagoljuk. Megkérjük, hogy keresse meg azt a minimális F erőt, amelyet M-re kell kifejteni, hogy a felső blokk csúszni kezdjen az elsőn. 17. ábra TANULÓ: Először feltételezem, hogy az F erő elég kicsi: az m test nem mozog M-hez képest. Ebben az esetben a két test gyorsulása a = F/(M + m) TANÁR: Helyes. Mi az az erő, amelyet ez a gyorsulás közöl a testtel m? TANULÓ: A statikus súrlódás ereje F r = ma = F r m/(M + m). 24.
A 18. ábrán a v 1 és v 2 test sebességvektorai a t és a t + Dt idő két nagyon közeli pillanatában vannak ábrázolva. A sebesség változása a Dt időben a vektor. Definíció szerint a (12) gyorsulás vagy szigorúbban (13) következik, hogy a gyorsulási vektor a Dv vektor mentén irányul. amely kellőképpen kis időintervallumban képviseli a sebesség változását. A 18. ábrán látható, hogy a sebesség és a sebesség változásának vektorai teljesen eltérő irányúak lehetnek. Ez azt jelenti, hogy általában a gyorsulási és sebességvektorok is eltérõen orientálódhatnak. Megértették ezt? DIÁK: Igen, ezt értem. Például egy test körmozgásakor annak sebessége érintőlegesen a kerületre, míg a gyorsulás sugárirányban és a középpont felé irányul. (Centripetális gyorsulásra utalok.) TANÁR: A megfelelő példa a (11) képlet tisztázására szolgál, és elmagyarázza, hogy az erő iránya egybeesik a gyorsulás irányával, nem pedig a 29 irányával.
20. ábra Még egy példát szeretnék megvizsgálni, amely a fentieket szemlélteti. Ezt mutatja a 20. ábra: két erő hat egy szálra lógó gömbre: a menet súlya és feszültsége. Ha eltérítjük a labdát egyensúlyi helyzetétől, majd elengedjük, akkor elkezd lengeni. Ha a kitérített gömbhöz közölnénk egy bizonyos sebességet, amely merőleges a síkra, amelyen az elhajlás bekövetkezett, akkor a csomagtartó egyenletesen mozogna egy kerületen. Mint látható, a kezdeti feltételeknek megfelelően a labda vagy leng, vagy leng a kerületében (lásd a 20., b ábrát), így mindkét esetben csak két erő hat a gömbre: súlya és menetfeszültsége. DIÁK: Nem gondoltam Newton törvényeire azon a gépen. TANÁR: Éppen ezért nem meglepő, hogy a testre ható erők kérdésének elmagyarázásakor néha a test mozgásának jellegéből fakadnak, és nem azok a testek, amelyek kölcsönhatásba lépnek az adott testtel test. Ne feledje, hogy te is ezt tetted. Ezért, amikor megrajzolta a 8., c és 8., d ábrákat, úgy tűnt, hogy a 32 erők összessége
21. ábra Ezért le kell bontanunk a test P súlyát a kapott irányában és a rá merőleges irányban (vagyis a huzal mentén), és ki kell egyenlítenünk az eredményre merőleges erőket, vagyis az erőkre a menet irányában hat (21. ábra, a). Ennélfogva T 1 = P cos a A második esetben az eredmény a centripetális erő, amely vízszintesen irányul. Ezért le kell bontani a menet T feszültségét vízszintes és függőleges irányban, és ki kell egyenlíteni a merőlegest az eredőre, vagyis a függőlegesen irányított fordulatokra (21. ábra, b). Innen kapjuk T 2 cos a = P vagy T 2 = P/cos a 34