Égi dinamika
Tevékenységek
| Ezen az oldalon egy tömeg testének mozgását vizsgáljuk m amikor az X tengely egy pontjától távolról indítják r1 a rögzített erőközpont, növekvő sebességgel v1 merőleges a sugárvektorra. |
Kepler törvényei leírják a bolygók mozgását a Nap körül, anélkül, hogy megvizsgálnák az ilyen mozgást kiváltó okokat.
1.-A bolygók ellipszis alakú pályákat írnak le a Nappal az egyik gócban.
2.-Bármely bolygó vektor-helyzete a Naphoz viszonyítva, az ellipszis egyenlő területeit egyenlő idő alatt söpri el.
3.-A forradalmi periódusok négyzetei arányosak az ellipszis féltengelyeinek kockáival.
Newton törvényei nemcsak Kepler törvényeit magyarázzák, hanem az égitestek egyéb pályáit is megjósolják: példabeszédeket és hiperbolákat. Általánosságban elmondható, hogy a gravitációs vonzó erő hatására egy test egy sík pályát ír le, amely kúp.
Mint említettük, az égitest és a Nap közötti vonzerő központi és konzervatív tulajdonságai meghatározzák két elsőrendű differenciálegyenlet rendszerét, amelyek poláris koordinátákban kifejezve a pálya egyenletéhez, egy kúphoz vezetnek.
Az interaktív program más módon halad, kiszámítja a gyorsulás összetevőit az X tengely mentén és az Y tengely mentén, így két másodrendű differenciálegyenletből álló rendszer keletkezik, amelyeket numerikus eljárásokkal oldanak meg.
A mozgásegyenletek numerikus megoldása
Tegyük fel, hogy a tömeg egy részecskéje m (egy bolygó) vonzódik egy hatalmas tömegű testhez M (a Nap) Feltételezzük, hogy a részecske hatása a testre elhanyagolható, az eredetnél nyugalmi állapotban marad.
A részecske vonzó erőnek van kitéve F amelynek iránya sugárirányú és a Nap közepe felé mutat.Az erőmodulust az univerzális gravitáció törvénye adja.
Az erő összetevői
Newton második törvényét alkalmazva, és a gyorsulást a pozíció második deriváltaként kifejezve két másodrendű differenciálegyenletből álló rendszerünk van.
A kezdeti feltételeket (helyzet és kezdeti sebesség) figyelembe véve két differenciálegyenlet rendszere megoldható a Runge-Kutta numerikus eljárás alkalmazásával.
Mérleg
Mielőtt numerikus eljárásokkal megoldanánk a differenciálegyenlet-rendszert, célszerű azokat úgy elkészíteni, hogy a számítógép ne kezeljen túl nagy vagy kis számokat.
Létrehozzuk az egységek rendszerét, amelyben a hosszt csillagászati egységekben mérjük, a Nap és a Föld közötti átlagos távolságot. L= egy AU = 1,496 · 10 11 m, és az idő évegységekben, P= egy év = 365,26 nap = 3,156 10 7 s.
Az új egységrendszerben x = Lx ’, t = P · t ’, az első differenciálegyenlet meg van írva
Mit L a Föld körüli Nap körüli pálya féltengelye, P az az időszak vagy idő, amely a teljes forradalom elkészítéséhez szükséges, és M a Nap tömege. Kepler harmadik törvénye szerint a kifejezés
Visszatérve a jelölésre x és Y pozícióért és t időre az új egységrendszerben. A differenciálegyenletek rendszere fel van írva
Az energia megőrzésének elve
A részecske teljes energiája állandó mozgás. A tömegrészecske energiája m a kezdeti pillanatban t= 0 van
Amikor E0 Ahogy látjuk R megegyezik a paraméterrel d, beavatkozik az ellipszis egyenletébe poláris koordinátákban.
Ismert r1 Y v1 kiszámítja r2 Y v2.
Ismert helyzet r1 és a sebesség v1 az indítás pillanatában az energia állandóságát és a szögimpulzust kiszámítva kiszámítjuk a sebességet v2 és távolság r2 az erők középpontjába. Néhány művelet után megkapjuk a sebességet v2 alapján r1 Y v1
(1)
Menekülési sebességnek hívják megy egy részecske, amely távolságra van r1 az erők közepétől, olyan sebességgel, amelyet biztosítanunk kell, hogy a végtelenséget nulla sebességgel érje el
Például a menekülés sebessége a Föld felszínéről az r1= 6,37 · 10 6 m, M= 5,98 10 24 kg megy= 11190,7 m/s
Kifejezhetjük a sebességet v2 a menekülési sebesség szempontjából megy
Megkapjuk a távolságot r2 az erők középpontjába a szögimpulzus állandóságától
Ha a műhold sebességgel indul vc oly módon, hogy
írja le a sugár körpályáját r.
Az (1) képlettel ellenőrizhetjük, hogy ha a műhold kör alakú pályát követ, akkor v2=v1
A Föld körül keringő mesterséges műholdak esetében
Ha az indítási sebesség v1 kevesebb mint vc az indítási pont az apogee.
Ha az indítási sebesség v1 nagyobb, mint vc az indulópont perigee.
Az ábrán a piros út kör alakú.
Példák:
1. példa Föld
A Föld körülbelül kör alakú sugárpályát ír le r= 1 496 · 10 11 m = 1 AU. Az egyenletes körmozgás dinamikáját alkalmazva kiszámoljuk a Föld sebességét. Tudva, hogy a Nap tömege M= 1,98 10 30 kg, a Föld sebessége v= 29711,8 m/s. Az első szakaszban létrehozott egységek rendszerében
- A hosszúság mértéke L= 1,496 10 11 m
- Az idő mértéke P= egy év = 365,26 nap = 3,156 10 7 s.
sebesség v ' oké v = v 'L/P
v '= 6268 AU/év
A teljes forradalom elkészítéséhez szükséges idő P= 1 év
Amikor bemutatjuk az interaktív programban x= 1,0 és vy= 6,27, kör alakú utat kapunk a Nap körül.
2. példa Mars
A Naphoz legközelebb eső távolság (perihelion) r1 = a-c = a-εa =1 382 AU = 2 068 10 11 m
A legtávolabb van a Naptól (afélion) r2 = a + c = a + εa =1,666 AU = 2,492 · 10 11 m
v1= 26420,7 m/s = 5,573 AU/év
Amikor bemutatjuk az interaktív programban x= 1,382 és vy= 5,573, megkapjuk a Mars ellipszis útját a Nap körül, és azt az időt, amely egy teljes fordulat megtételéhez szükséges P= 1,86 év.
Tevékenységek
Az ezt az oldalt tartalmazó kisalkalmazásban az égitesteket leíró pályák követhetők nyomon. Ellenőrizni fogjuk az energia állandóságát, ellenőrizni fogjuk, hogy a szögimpulzus állandó-e a maximális közelség vagy a maximális távolság helyzetében, és végül a Kepler harmadik törvényét fogjuk ellenőrizni, megmérve a periódust és a félmagot az ellipszis tengelye.
Az égitest helyzetét és kezdeti sebességét adjuk meg:
- A kiinduló helyzet x, a rendelt y = 0
- A kezdeti sebesség Y komponense vy, a sebesség X komponense vx = 0.
Nyomja meg a címet Indul,
A mobil pályája nyomon követhető, ugyanakkor az applet bal oldalán látható, hogy az idő múlásával hogyan változnak a helyzet és a sebesség értékei. Megfigyeljük, hogy az energia és a szögimpulzus állandó marad.
A bal alsó sarokban a hiba százalékos aránya kék színnel jelenik meg. Ha nagyobb, mint az egység, az interaktív program leáll. Mint láthatjuk, a legnagyobb hibaszázalékot akkor kapjuk meg, amikor a részecske nagyon közel halad a rögzített erőcentrumhoz.
Nyomja meg a címet Szünet, megállítani a mozgást, például amikor a bolygó áthalad a legközelebbi vagy legtávolabbi helyzeten, megmérni a félig fő tengelyt, az adott helyzetben lévő sebességet és a félperiódust (az égitest elkészítéséhez szükséges idő fele) egy kör teljes).
Nyomja meg ugyanazt a gombot, amelynek címe most van Folytasd, hogy folytassa a mozgást.
A gombot többször megnyomják. Átadta, a test lépésről lépésre történő mozgatására szolgál, hogy közelebb kerüljön a kívánt pozícióhoz.
Amikor egy pálya megtörtént, az új test kezdeti sebességét AU/év-ben megadják a helyzet megváltoztatása nélkül, és megnyomják a gombot. Indul. Pályáját más színnel követik nyomon.
Végül a kezdeti helyzet megváltozik x és különféle sebességértékeket adunk meg újra vy.
Ha több pálya halmozódott fel, kattintson a gombra Törli az applet munkaterület tisztításához
Belépés a mobil kezdő pozíciójába Rp és a kezdeti sebesség Vp, a bolygó egymást követő helyzeteit rögzített időközönként követik nyomon.
Kattintson a gombokra Szünet Y Átadta, A következő adatokat vesszük, és elkészítjük az alábbihoz hasonló táblázatot.