Pár nappal ezelőtt bemutattunk egy kis rejtélyt, amelyet Szentpétervár-paradoxon néven ismerünk. Arról szól a szerencsejáték amelynek várható értéke végtelen, ezért a játék valós árának is végtelennek kell lennie, annak ellenére, hogy ez ellentmond az intuíciónak és a józan észnek. Hol van a hiba vagy a fogás? amint azt az eredeti bejegyzésben már mondtuk, a matematikai eredmény tökéletesen helyes. Valami azonban elmenekül tőlünk.

megoldás

Nagyon érdekes ötletekkel és nézőpontokkal járultak hozzá a hozzászólások. Véleményem szerint mind közülük a legérdekesebb tükröződés azoknak, akik úgy gondolják, hogy a játék "valós" várható értéke hányszor játszhatunk, nem lehet végtelen, fizikailag korlátozott. De ennek ellenére a játék várható értéke még mindig túl nagy ahhoz, hogy a valós ár elfogadható legyen (például ha ezer pörgetés felső határa lenne, a várható érték 500 euró lenne, de annak valószínűsége, hogy túllépjük öt vagy hat arc egymás után még mindig ugyanolyan távoli).

A rejtély megoldása 1738-ban jött pontosan Daniel bernoulli, Nicholas Bernoulli unokaöccse (aki a paradoxont ​​javasolta), bár Gabriel cramer Évekkel korábban már számítottam az eredményre. A kulcs abban a nyomban van, amelyet az eredeti megközelítésben már megadtunk: a a pénz értéke Ez nem ugyanaz a matematikusoknál, mint a közönséges halandóknál.

Valójában "A szerencse mérésének új elméletében" Daniel Bernoulli a következőket állítja:

A hasznossági függvény (u (x)) az a trükk, amellyel a közgazdászok képesek matematikailag képviselni a gazdasági szereplők preferenciáit, és egy racionális ember esetében, bár mindig növekszik, egy homorú (vagyis egyre lassabban növekszik). A józan ész támogatja ezt az intuíciót. A "valódi" 100 euró értéke annak, akinek nulla, óriási (mivel ez túlélés kérdése), de annak, akinek már millió eurója van, elhanyagolható. Más szavakkal, a határhaszon a pénz csökken.

Ezért nem a játék várható értékét kell mérnünk, hanem a várható hasznosságot (amelyet U-nak fogunk nevezni). A másik bejegyzés képleteit áttekintve gyorsan rájöhetnénk, hogy az említett segédprogram U = (1/4) u (2) + (1/8) u (4) + (1/16) u (8) +. = Σ [u (2 n)/2 n + 1], ahol u (x) az x euró fogadásának hasznosságát jelenti.

De hogyan néz ki az u (x) függvény? tulajdonképpen, lehetetlen számszerűen mérni az elért elégedettséget, és valóban, minden fogyasztónak meg lesz a maga hasznossági funkciója (például egy kockázatkedvelő magasabb várható hasznosságot fog érzékelni a játékban, mint egy nagyon konzervatív ember). Cramer és Bernoulli azt tesztelte, hogy olyan funkciókkal tesztelték, amelyek reagálnak a közüzemi függvény jellemzőire: növekvő, homorú és nulla az eredetnél (a nulla euróból létrehozott segédprogram is nulla).

Pontosabban Cramer tesztelte a funkciót √x. A kifejezés fejlesztésével azt látnánk, hogy U = Σ [2 n/2/2 n + 1] = Σ [2 - (n/2) -1]. Ha végtelen tagok összegét végezzük (aminek nincs nagyobb problémája, mert geometrikus és konvergens), akkor kiderül, hogy a játék várható hasznossága 1.207.

De a hasznosság √x, és ami minket érdekel, az x (ami pénzt képvisel). Tehát √x = 1,207 ⟶ x = 1457 euró. A korrekt árunk a végtelenségtől alig másfél euró alá került! Valójában ez nem őrültség, mivel a nap végén 50% esélyünk van arra, hogy elveszítsük a befektetett pénzt.

Bernoulli példáit a logaritmus függvénnyel hozta meg. Ha a függvényt vesszük log (x + 1) (hozzáadva a +1-t, hogy a függvény null legyen az origóban) és megismételjük a műveletet, akkor U = Σ [log (2 n +1)/2 n + 1] lenne. Ez a sorozat is konvergál, és a numerikus eredmény U = 0,832 lenne, és mivel u = log (x + 1) x = 1 298 euró, az előző esetben még kevésbé.

Amint megjegyeztük, a választás a hasznossági függvény szubjektív. Ez a két példa nagyon konzervatív embereknek felelne meg, idegenkedve kockázat. Az a tény, hogy 50% esélyünk van az összes pénz elvesztésére, drasztikusan csökkenti a játék várható hasznosságát. Ha egy kis módosítást hajtanánk végre a játékban, hogy azok, akiknek az első tekercsben farok lesz, ne üres kézzel távozzanak, hanem kapjanak egy eurót, és újra kiszámoljuk, akkor azt látnánk, hogy Cramer képletével x = 2 914 euró: kiküszöbölve az üresen történő visszatérés kockázatát, hajlandóak lennénk megduplázni a beruházást.

Elemezhetnénk más kevésbé konzervatív segédfunkciókat is, amelyek továbbra is teljesítik a tulajdonságokat. Például az u = x 2/3 hasznossági funkcióval kockázatosabb ember hajlandó fizetni 2 668 euró amiért akár 50% esély nélkül is játszhatsz semmivel. De mindenesetre a lényeg az, hogy még ha a játék várható értéke végtelen is, a várható hasznosság nem, és egy racionális ember, bármennyire is kockázatkedvelő, nem fizetne nagyon magas árat a játékért (valójában szinte lehetetlen találni valakit, aki hajlandó fizetni 10 eurónál többet).

Véleményem szerint ezek a fajta dolgok a legérdekesebbek a Gazdaság: használja a matematikát olyan szubjektív fogalmak képviseletére, mint a kockázatkerülés. Természetesen a modellek nyilvánvalóan modellek, és sokszor (ahogy a válsággal látjuk) csúfosan megbuknak.