célok

A lecke befejezése után képesnek kell lennie a következőkre:

függvények

  • Modellhelyzetek, amelyek exponenciális vagy logaritmikus függvényekkel ábrázolhatók.
  • Alkalmazzon modelleket a problémák megoldására.

Helyzetmodellezés

Az Exponenciális függvények bemutatása leckében megtanultuk megszerezni az exponenciális függvények képletét a helyzeteknek megfelelõen. Most, hogy tudjuk, hogyan lehet megszerezni a képleteket, a valós élet problémáinak megoldására fogjuk használni őket.

Madárpopuláció, kezdetben 50 egyed és 2 évente háromszoros.

  1. Mi a képlete annak a függvénynek, amely a madárállomány növekedését ábrázolja?
  2. Hány madár van 4 év után?
  3. Mennyi idő után lesz 1000 egyed a madárpopuláció?

    Mi a képlete annak a függvénynek, amely a madárállomány növekedését ábrázolja?

Ha x az eltelt évek számát jelenti, a Bevezetés az exponenciális funkciókba leckében tanultak alapján tudjuk, hogy a sokaság képlete:

Hány madár van 4 év után?

Az x = 4 képlet felhasználásával a sokaság a következő lesz:

f 4 = 50 × 3 4 2 = 50 × 3 2 = 450

4 év után 450 madár lesz.

Mennyi idő után lesz 1000 egyed a madárpopuláció?

Meg akarjuk találni x értékét, amelyre f (x) = 1000:

fx = 50 × 3 x 2 1000 = 50 × 3 x 2 20 = 3 x 2 ln (20) = ln (3 x 2) ln (20) = x 2 ln (3) 2 ln (20) ln (3) = xx = 5,4

A madarak populációja 1000 egyed lesz 5,4 év után.

50 mg bizonyos gyógyszert adnak a betegnek. A beteg véráramában maradt milligrammak száma 5 óránként egyharmadával csökken.

  1. Mi a képlete annak a funkciónak, amely a beteg véráramában megmaradt gyógyszer mennyiségét jelöli ?
  2. Hány milligramm gyógyszer marad a beteg véráramában 3 óra elteltével?
  3. Mennyi idő után csak 1 milligramm gyógyszer marad a beteg véráramában?

    Mi a képlete annak a funkciónak, amely a beteg véráramában megmaradt gyógyszer mennyiségét jelöli ?

Ha x az eltelt órák számát jelenti, a páciens véráramában lévő gyógyszer mennyiségének képlete a következő:

f x = 50 × 1 3 x 5

Hány milligramm gyógyszer marad a beteg véráramában 3 óra elteltével?

Az x = 3 képlet használatával:

f 3 = 50 × 1 3 3 5 = 50 × 1 3 0,6 ≈ 25,86

3 óra elteltével körülbelül 25,86 milligramm gyógyszer marad a beteg véráramában.

Mennyi idő után csak 1 milligramm gyógyszer marad a beteg véráramában?

Meg akarjuk találni az x értékét, amelyre f (x) = 1:

fx = 50 × 1 3 x 5 1 = 50 × 1 3 x 5 1 50 = 1 3 x 5 ln 1 50 = ln 1 3 x 5 ln (1 50) = x 5 ln (1 3) 5 ln (1 50 ) ln (1 3) = xx ≈ 17,8

Körülbelül 17,8 óra elteltével csak 1 milligramm gyógyszer marad a beteg vérében.


A funkció megtalálása adott értékek alapján

Egy tudományos vizsgálat során a legyek populációja exponenciálisan növekszik. Ha 2 nap múlva 100 legy, 4 nap után pedig 300 legy van.

  1. Mi a képlete annak a függvénynek, amely a légy populáció növekedését ábrázolja?
  2. Hány legy van 5 nap után?
  3. Mennyi idő múlva lesz a legyek száma 1000 egyed?

    Mi a képlete annak a függvénynek, amely a légy populáció növekedését ábrázolja?

Amint exponenciális növekedésről beszélünk, a forma függvényét keressük:

f x = y 0 × a x b

Ahol x az eltelt napok számát jelenti. A problémás körülmények lehetővé teszik a következő táblázat elkészítését:

x két 4
f (x) 100 300

A táblázatban szereplő értékek azt mutatják, hogy a legyek populációja 2 nap alatt megháromszorozódott, ami lehetővé teszi számunkra, hogy a következő képletet írjuk:

f x = y 0 × 3 x 2

Tudjuk, hogy f (2) = 100. A képlet cseréje az y0 megkereséséhez:

f 2 = y 0 × 3 2 2 100 = y 0 × 3 1 y 0 = 100 3

Végül a legyek növekedésének képlete a következő:

f x = 100 3 × 3 x 2

Hány legy van 5 nap után?

Az x = 5 képlet felhasználásával a sokaság a következő lesz:

f 5 = 100 3 × 3 5 2 f 5 ≈ 520

5 nap után körülbelül 520 legy lesz.

Mennyi idő múlva lesz a legyek száma 1000 egyed?

Meg akarjuk találni x értékét, amelyre f (x) = 1000:

fx = 100 3 × 3 x 2 1000 = 100 3 × 3 x 2 30 = 3 x 2 ln (30) = ln (3 x 2) ln (30) = x 2 ln (3) 2 ln (30) ln ( 3) = xx ≈ 6,19

A légy populáció körülbelül 6,19 nap elteltével 1000 egyed lesz.

A laboratóriumban baktériumkultúrája van, és ismert, hogy növekedése exponenciális. A baktériumok tenyésztésének száma 1 perc múlva 800, 2 perc múlva 1280 volt.

  1. Mi a képlete annak a funkciónak, amely a baktériumkultúra növekedését képviseli?
  2. Hány baktérium van 5 perc múlva?
  3. Mennyi idő után lesz a baktériumok száma 10 000?

    Mi a képlete annak a függvénynek, amely a légy populáció növekedését ábrázolja?

Amint exponenciális növekedésről beszélünk, a forma függvényét keressük:

f x = y 0 × a x b

Ahol x az eltelt percek számát jelenti. A problémás körülmények lehetővé teszik a következő táblázat elkészítését:

x 1 két
f (x) 800 1280

A két megfigyelés közötti időtartam 1 perc. Meg akarjuk találni a növekedési tényezőt az adott időszakban. Vagyis meg akarjuk találni a táblában szereplő adatokkal:

a × 800 = 1280 a = 1,6

Ami azt jelzi, hogy 1 perc múlva 1,6-os növekedési tényező volt. Ezeknek az értékeknek a helyettesítése a képlettel:

Tudjuk, hogy f (1) = 800. A képlet cseréje az y0 megkereséséhez:

f 1 = y 0 × 1,6 1 800 = y 0 × 1,6 y 0 = 800 1,6 és 0 = 500

Végül a baktériumok szaporodásának képlete a következő:

Hány baktérium van 5 perc múlva?

Az x = 5 képlet felhasználásával a baktériumok populációja a következő lesz:

f 5 = 500 × 1,6 5 f 5 ≈ 5242,88

5 nap múlva körülbelül 5242,88 baktérium lesz.

Mennyi idő után lesz a baktériumok száma 10 000?

Meg akarjuk találni x értékét, amelyre f (x) = 10000:

f x = 500 × 1,6 x 10000 = 500 × 1,6 x 20 = 1,6 x ln (20) = ln (1,6 x) ln (20) = x ln (1,6) ln (20) ln (1,6) = x x ≈ 6,37

Körülbelül 6,37 perc múlva a baktériumok száma 10 000 lesz.


Folyamatos érdeklődés

Az exponenciális függvényeket a folyamatos érdeklődés modellezésére használják, az alábbiak szerint:

Ha kezdeti pénzösszeg P éves kamatlábbal fektetik be én. A pénzmennyiség t év befektetés után, amelyre a folyamatos érdeklődés a következő képlet adja meg:

Keresse meg azt a pénzmennyiséget, amely 3 év után származik, ha 3000 dollárt fektetnek be évi 7% -os kamatláb mellett, folyamatosan kamatozva.

A P = 3000 USD, r = 0,07 képletet és a t = 3 megoldását használva:

f 3 = 3000 × e 3 × 0,07 f 3 ≈ 3701,03

3 év után a pénz összege megközelítőleg 3701,03 USD lesz.

Mennyi ideig tart egy 1000 dolláros befektetés megduplázódni, ha a folyamatos kamatláb évi 8,5%?

A P = 1000 USD képlettel r = 0,085. Meg akarjuk találni azt a t értéket, amelyre f (t) = 2000.

f t = 1000 × e 0,085 t 2000 = 1000 × e 0,085 t 2 = e 0,085 t ln (2) = ln (e 0,085 t) ln (2) = 0,085 t ln (e) ln (2) 0,085 = t t ≈ 8,15

a beruházás értéke megduplázódik körülbelül 8,15 év után.

Összegzés

Most, hogy befejezte ezt a leckét, képes: