Az ókori egyiptomiaknak külön szimbólumaik voltak az összes többi előállításához használt frakciókra

Kapcsolódó hírek

Van egy általános elképzelés, miszerint a matematikai munka magányos és távol áll a valóságtól. Lehetséges, hogy sok esetben ez a helyzet, de ez nem a szokásos, és természetesen nem a legajánlottabb. Bármely csapatként végrehajtott projekt, különösen ha interdiszciplináris csapatról van szó, kielégítőbb eredményeket hoz, nagyobb vetítéssel, nem beszélve arról, hogy a fejlesztési folyamat gördülékenyebb és szórakoztatóbb. Mint a szakmai élet minden területén, az atipikus és a rendkívüli helyzetek is nagyon figyelemre méltóak, az elért eredmények mindig felhívják a figyelmet, és előfordulhat, hogy néhány meglepő történet felkelti a szakmán kívüli emberek érdeklődését.

szeme

A matematikában a termékeny munka két szélsőséges esete nagyon szembetűnő: az Leonhard euler (1707-1783) és a Erdös Pál (1913-1996). Euler alakja már jól ismert, az általános kultúra része - vagy része kell, hogy legyen, és tudományos munkájának összeállítása (több mint 850 mű) hatalmas, többnyire egyéni alkotást jelent, amelynek eredménye elérhető a Az «Euler Archívum» a Csendes-óceáni Egyetem könyvtárának által karbantartott, Kalifornia, Egyesült Államok. Erdös magyar matematikus alakja, aki egész életét a világ körül járta és minél több kollégával szorosan együttműködött, nem biztos, hogy annyira ismert. 2001-ben, Paul Hoffman érdekes életrajzot tett közzé "Az az ember, aki csak a számokat szerette" (Ediciones Granica) címmel, a címben összefoglalva e karakter legjelentősebb jellemzőjét.

Erdös egész életében tudomásunk szerint 1526 matematikai kutatási cikket publikált - a halála után megjelent 35-et számolva -, legtöbbjüket a számelméletben és a halmazelméletben. Több mint ezer műve készült el összesen 512 társszerzővel együttműködve. Közülük 202 nem egy cikkben működött együtt Erdössel, honfitársa Sárközy András aki 62 közös kutatási cikk rekordjával rendelkezik.

A 21. században eddig öt cikk jelent meg Erdös és egy vagy több más szerző közös aláírásával, amelyek Erdössel együttműködésben indultak el, vagy amelyek megoldják az általa javasolt problémákat. Az is lehetséges, hogy e szerzők egy része a várva várt, eggyel egyenlő Erdös számot akarta elérni, amelyet pillanatnyilag az 512 közvetlen munkatársnak tartanak fenn, amely szám érdemessé válhat bármely matematika tantervbe való felvételre.

A szerencsés mondások közül az utolsó az Steven Butler, az Iowa Állami Egyetem professzora, és az általa 2015-ben megjelent mű - amelyet Erdös Pál és a nemrég elhunyt közösen írt alá Ronald Graham– megérdemel egy kis figyelmet.

Ebben a munkában "Az egyiptomi frakciók mindegyik nevezője három megkülönböztető fő osztóval rendelkezik" címmel tanulmányozzák az egyiptomi frakciók néhány eddig ismeretlen tulajdonságát. Hogyan? Mik az egyiptomi töredékek?

Tegyük fel, hogy leegyszerűsítjük, hogy ők azok, amelyeknek számlálója egyenlő. Miért hívják őket egyiptomiaknak? Mivel az egyiptomi civilizációban, több mint 3500 évvel ezelőtt, ezek voltak azok a töredékek, amelyekre sajátos szimbólumaik voltak, és ezért ezeket használták fel az összes többi létrehozására. Valójában az egyik legreprezentatívabb szimbólum, a Hórusz szeme, tartalmazza a legegyszerűbb frakciókat, amelyekkel a többit alkották, és a híres első részében rhind papirusz, hogy megcsodálhatjuk a londoni brit múzeumban (amikor odaengednek minket) egy táblázat jelenik meg fáradságos bontásokkal - két, három vagy négy tört összegeként, amelyeknek számlálója egyenlő - az összes 2/n típusú frakcióval minden n páratlan esetén 5-től 101-ig (3 nem számít, mert a 2/3-os törtet is szimbólummal ábrázolták). Az utolsó nagyon vonzó: megfelel a 2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606 egyenlőségnek. A papirusz egy táblázatot is tartalmaz, amely tartalmazza az n/10 frakciók bontásait bármelyik n esetén 2-től 9-ig.

Igen, én is ugyanúgy gondoltam, mint te: minden 2/n frakció egyszerűen 1/n + 1/n-ként bontható le, de az egyiptomiak olyan kombinációkat kerestek, ahol a nevezők mindegyike különbözött. Igen, azon is kíváncsi vagyok, miért akarták így csinálni, de a nagy francia matematikus André Weil elmagyarázta, hogy a válasz egyszerű: csak rossz úton jártak.

A történelem során számos egyiptomi frakció tulajdonságát fedezték fel, de kérdéseket is felvetettek, amelyek közül néhány megoldatlan maradt. Az első kérdés biztosan az lenne: felosztható-e az összes frakció (kevesebb, mint egység) az egyiptomi törtek összegeként? A válasz igen és Fibonacci (c.1170-c.1250) egy tévedhetetlen módszert dolgozott ki: a legnagyobb számlálóval rendelkező frakciót, amelynek különbsége pozitív, kivonjuk az eredeti frakcióból; az eredmény egy másik, az elsőnél kisebb frakció, amelyre ugyanazt az eljárást alkalmazzák; mivel minden lépésben kisebb mennyiséget kapunk, egy ponton a különbség nulla. Ron Knott oldalán megtalálhat egy online számológépet, amely lebontja az e módszerrel járó töredékeket.

Ez a módszer bolondbiztos lesz, de nem mindig ad elegáns eredményeket. Például az egyiptomiak 2/45 = 1/30 + 1/90 értéket írtak, a Fibonacci-módszer pedig 2/45 = 1/23 + 1/1035 megoldást eredményezett. Vannak más rosszabb példák is, amelyek ösztönzik a tudományos közösséget, és idővel közvetlenebb és hatékonyabb módszereket dolgoztak ki.

Valójában az is bebizonyosodott, hogy minden egyes frakció végtelen módon felbontható egyiptomi törtek összegeként.

A második kérdés a következő lehet: mennyi az egyiptomi frakciók maximális és minimális száma, amelyekre szükség van egy adott frakció lebontásához? Ismeretes, hogy a Fibonacci módszerrel minden n/m frakciónak legfeljebb n addícióra van szüksége. Művei Michael Mays 1987-ben és Herta Freitag Y George Phillips 1999-ben feltételeket szabnak a kiegészítések maximális számának elérésére bizonyos esetekben. Másrészt 2010-ig ismert volt, hogy a 732/733 tört a legkisebb nevezővel, amely hét egyiptomi tört összegeként fejezhető ki, de nem hat. Az amatőr matematikus Hugo van der Sanden Abban az évben bebizonyította, hogy a 27538/27539 a legegyszerűbb tört, amelyet nem hét, hanem nyolc egyiptomi tört összegeként lehet lebontani. Mi lesz az, amelynek legalább kilenc egyiptomi frakcióra van szüksége? Jelenleg senki sem tudja.

Mint mondtuk, sok kérdés merül fel a témával kapcsolatban, és nem mindegyiket sikerült megoldani. Mi van, ha azt akarjuk, hogy a nevezők egyenletesek legyenek? Vagy minden furcsa? Erdös és Graham több mint fél évszázadon át azon töprengett, hogy egy frakció lebontható-e egyiptomi törtek összegeként, amelyekben minden nevező három különböző prímszám szorzata. Nem szabad azt gondolnunk, hogy ez a kérdés a kreativitás rohamában jutott a fejükbe, hanem hogy más numerikus problémák sugallják azokat a partíciókat, amelyeken dolgoznak. A Butler, Erdös és Graham által 2015-ben megjelent cikkben végül bebizonyosodott, hogy minden természetes szám írható egyiptomi törtek összegeként, ahol minden nevező három különböző prím szorzata és hármasa van megegyezik a szerzők véleménye (egy szavazat mellett, egy ellene és egy üres) arról a kezdeti kérdésről, hogy ugyanaz történik-e valamilyen töredékkel, nem feltétlenül természetes számmal.

Mint az alaptudományban, általában nem tesszük fel a kérdést: "mire szolgál ez az egész?", Csupán egy egyszerű ötletességi probléma felvetésére szorítkozunk, amelyet megoldhat az itt leleplezettek megfelelő felhasználásával. Itt van a probléma: hogyan lehet egyenletesen elosztani öt egyenlő pizzát nyolc ember között? A leggondolatlanabb válasz az, ha az összes pizzát nyolc egyenlő szeletre osztjuk, így a 40 szelet könnyen elosztható a 8 ember között. Mi lenne, ha 5/8 = 1/2 + 1/8 írnánk? A pizzák vágásainak drasztikus csökkentésével a pontosság nagyobb és az elosztás igazságosabb. Így osztották fel az egyiptomiak a földet, a termést, a nyereséget, a béreket ...?

Pedro Alegria. Baszkföldi Egyetem/Euskal Herriko Unibertsitatea. A Spanyol Királyi Matematikai Társaság (RSME) közzétételi bizottsága.

Az ABCdario de las Matemáticas egy szakasz, amely az RSME-vel való együttműködésből származik