Matemotion

A rekreációs matematikában nagyon gyakoriak a súlyokkal és mérlegekkel kapcsolatos problémák. A könyv ellenőrzése 100 nagy elemi matematikai probléma - 100 nagy elemi matematikai probléma Felidéztem egy klasszikus súlyproblémát a 17. századtól, és vonzósága, érdeklődése és egyszerűsége miatt érdekesnek tartottam felidézni a Tudományos Kultúra Jegyzetfüzetének ebben a szakaszában.

A problémát Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638) francia matematikus, nyelvész, filozófus és költő javasolta, aki 1621-ben elkészítette a mű latin fordítását és kiadását. Számtan Diophantus görög matematikus (3. század) könyvében Problèmes Plaisants et Délectables, Qui se font para les names - Kellemes és elragadó problémák a számokkal (1612).

klasszikus
Ismeretlen szerző festménye, amelyet Claude Gaspard Bachet de Méziriac francia matematikus készített

A francia matematikus által javasolt probléma így hangzik:

Bachet de Méziriac súlyprobléma: Határozza meg a legkisebb tömegeket és azok súlyát kilogrammban *, amelyek szükségesek ahhoz, hogy tetszőleges számú kilogrammot 1 és 40 között mérjünk, mindkettő tartalmazza (a frakciók beengedése nélkül).

[* Az eredeti szövegben fontok vannak]

Noha a probléma szövegében nincs kifejezetten megfogalmazva, arra utal, hogy a méréseket két karral, vagy két lemezzel ellátott mérleggel végzik, hogy a súlyok a kettő bármelyikére felkerülhessenek. lemezek a kívánt tömeg megszerzéséhez (hasonló ahhoz, amelyet a következő képen láthatunk, bár azzal az engedéllyel, hogy a képen látható nem tartja meg a súlyokat, amelyekről beszélünk). Így, ha 9 és egy másik 5 kilós a súlya, akkor 4 kiló narancsot mérhet, 9 kilót az egyik lemezbe, a másikba pedig 5 kilót a narancsba helyezve. Matematikailag a kivonási műveletet végezzük, 9 kiló - 5 kiló = 4 kiló.

Vagyis bizonyos súlyokkal, bizonyos súlyokkal meg lehet mérni a kapott értékek összeadásaként vagy kivonásaként kapott mennyiséget.

Egyensúly két karral vagy két tányérral

A könyvben Az alapmatematika 100 nagy problémája lényegében ugyanaz a probléma merül fel, bár a nyilatkozat már tartalmazza azt az információt, hogy 4 súly van, egy kissé vonzóbb irodalommal az általános olvasó számára.

Baj: Egy kereskedő súlya 40 kiló * volt, de leesett és 4 különböző darabra tört. A darabok lemérésekor kiderült, hogy mindegyikük pontos kilókkal rendelkezik, és a négy között tetszőleges számú és 1 és 40 közötti kilogramm mérhető. Hány kiló * súlya van az egyes daraboknak?

Érveljünk hasonló módon, mint Bachet 400 évvel ezelőtt. Bachet ötlete az, hogy két súllyal induljon, hogy bármit meg tudjunk mérni 1 és között n, mert n minél nagyobb. Nyilvánvaló, hogy a megoldás két 1 és 3 kilós súly, amelyekkel 1 és 4 kiló közötti súly érhető el:

1 = 1, 2 = 3 - 1, 3 = 3 és 4 = 1 + 3.

Ne feledje, hogy az összeadás azt jelenti, hogy a súlyokat ugyanarra a lemezre helyezzük, míg a kivonás azt jelenti, hogy különböző lemezekre helyezzük őket.

Más összegekre azonban ugyanannyi peso lett volna, de nem 1 és n. Például 2 és 3 kilós súlyokkal 1, 2, 3 és 5 kilót kap, de nem 4 kilót.

Most meg kellene látnunk, hogy milyen súlyt kell adnunk ahhoz, hogy megszerezzük az 1 és a közötti súlyokat n, mert n nagyobb, mint 4. Mivel már megvan a két 1 és 3 kilós súlyunk, és az összes súlyt 1 és 4 kiló között sikerült lemérnünk, olyan súlyt kell vennünk, amelynek különbsége az eddig elért maximumgal, 4 kilóval, a következő súly, 5 kg (tehát 9 kg, mivel 9 - 5 = 4, vagy ami azonos, 9 = 2 x 4 + 1), mivel így kapjuk meg az összes mennyiséget 5 kilótól az adott mennyiségig, 9 kiló, ha 9 kilóból kivonjuk (vagyis a másik tányérra tesszük) az összes mennyiséget 1-től 4-ig:

5 = 9 - 4 = 9 - (1 + 3), 6 = 9 - 3,

7 = 9 - 2 = 9 + 1 - 3, 8 = 9 - 1, 9 = 9.

De emellett megkapjuk az összes súlyt 9 és 9 + 4 = 13 kiló között:

10 = 9 + 1, 11 = 9 + 2 = 9 + 3 - 1,

12 = 9 + 3, 13 = 9 + 4 = 9 + 3 + 1.

Ezért 3 1, 3 és 9 kilós tömeggel minden 1 és 13 kiló közötti súlyt elérhetünk.

A 13-as szám egy Jamie Clarke által készített betűtípussal Elliot Jay Stocksszal a 8 Faces magazin számára

Valójában létrehozzuk az általános módszert. Tegyük fel, hogy vannak A, B, C, ... súlyaink, amelyekkel 1-től mérhetünk n kiló. Most egy új P súlyt veszünk figyelembe o kilogramm, amely meghaladja a n pontosan n + 1 kiló (az összes köztes mennyiség megszerzéséhez), vagyis, o - n = n + 1. vagy azzal egyenértékű, o = 2 n + 1. És ily módon lehetséges mérlegelni 1-től o + n = 3 n + 1 kiló.

Következésképpen a következő, negyedik súly 2 x 13 + 1 = 27 kiló lesz, és lehetővé teszi számunkra, hogy legfeljebb 3 x 13 + 1 = 40 kilót számoljunk. Ezért a probléma megoldása az, hogy 4 súlyra van szükség, amelyek súlya 1, 3, 9 és 27 kg.

Oldal Claude Gaspard Bachet de Méziriac könyvéből, Problèmes Plaisants et Délectables, qui se font par les names (1612), amelyben a súlyok problémáját javasolják és megoldják

Mivel az általunk adott konstrukció általános, megkérdezhetjük magunktól, hogy mekkora lenne a következő súly értéke és mennyit tudnánk mérlegelni. A súly értéke 2 x 40 + 1 = 81 kg, és az 5 tömeggel 3 x 40 + 1 = 121 kg-ig mérhető.

Ezen a ponton biztosan rájöttünk, hogy a súlyok mennyiségei a 3 hatványai, vagyis 1 = 3 0, 3 = 3 1, 9 = 3 2, 27 = 3 3 vagy 81 = 3 4. Valójában nem nehéz megmutatni, hogy a súlyok 3 0, 3 1, 3 2,…, 3 lesznek k kiló, és a velük elérhető maximális súly 3 0 + 3 1 + 3 2 +… + 3 k . Ezenkívül ez az utolsó kifejezés a hatványok véges összegének képletét használva egyenlő (3 k +1 - 1)/2.

Öt, 1, 3, 9, 27 és 81 értékű tömeggel minden 1 és 121 kiló közötti mennyiség lemérhető. Az Alejandro Paul Joluvian által tervezett Tropical betűtípussal ábrázolt számok 2017-ben

De más módon is megoldhatjuk Bachet de Méziriac súlyproblémáját, amint az a kiváló könyvben megjelenik A nagy matematikusok híres rejtvényei. Figyelembe véve, hogy ha a súlyokat egyik vagy másik lemezre tesszük, akkor ezek összege összeadódik vagy kivonásra kerül, az a cél, hogy bármilyen mennyiséget képviseljünk C, 1 és 40 között, az alábbiak szerint

hol o1,…, om a súlyok és az együtthatók értékei nak nekén vegyük az -1 értékeket (ha az érték súlyát helyezzük el oén a mérlegen, ahol a mérendő tárgy van), 0 (ha a súlyt nem használják oén) és 1 (ha az érték súlyt helyezzük el oén a lemezzel szemben, amelyet meg akarunk mérni).

Mivel az együtthatók nak nekén Három különböző értéket vehet fel, -1, 0, 1, az előző kifejezés azt sugallja, hogy egy rendszert használunk a 3. bázisban. Ez azt jelenti, hogy a súlyok o1 = 3 0 = 1, o2 = 3 1 = 3, o3 = 3 2 = 9,… és a kapott mennyiségek lennének (most fordított sorrendbe állítjuk őket)

C = nak nek m 3 m - 1 + nak nek m - 1 3 m - 2 + ... + nak nek 3 3 2 + a 2 3 1 + a 1 3 0,

amely az alap 3 rendszer számaként van ábrázolva (nak nekmnak nekm - 1… nak nek3 a2 a1) 3. És lehetővé teszi az összes szám ábrázolását (1 1… 1 1 1) 3-ig. Például m = 5 súly esetén a maximálisan megjelenített szám (1 1 1 1 1) 3 = 3 4 + 3 3 + 3 2 + 3 1 + 3 0 = (3 5 - 1)/2 = 121.

Például a 65-ös számot ábrázolnák

65 = 1 x 81 + (- 1) x 27 + 1 x 9 + 1 x 3 + (- 1) x 1.

Oldal W. W. Rouse Ball Matematikai kikapcsolódás és esszék (1892) könyvéből, amely Bachet súlyproblémáját tartalmazza, annak két változatával, és megkezdődik a felbontása

W. W. Rouse Ball brit matematikus és ügyvéd híres könyvében összegyűjti a „Bachet súlyproblémát” Matematikai kikapcsolódás és esszék - Matematikai kikapcsolódás és esszék (1892). Ebben a probléma két lehetőségét veti fel, az eredetit, amelyben a súlyokat a mérleg mindkét lemezére fel lehet tenni, és amelynek megoldását ismerjük, 3, azaz 1 teljesítményértékkel rendelkező súlyok alkotják. 3, 9, 27, és a másik, amelyben a súlyokat csak a lemezt szemközti tányérra lehet helyezni, ahova a lemérendő tárgy kerül. Ebben a második változatban a súlyok felrakhatók vagy nem, akkor csak lehetőségünk van összeadni vagy nem, de nem kivonni, következésképpen bináris rendszerünk van, és a megoldás a 2 hatványa az 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Bachet de Méziriac súlyainak problémája azonban időben sokkal távolabbi eredetű. A nyilvántartásból először az Liber Abaci - Abacus könyv (1202) a pisai Leonardo, Fibonacci néven. A Baldassarre Boncompagni 1857-es kiadásában ez a probléma „IIII-tól er pesonibus, quorum pondus erat librarum quadraginta”Ez az 1. kötet 297. oldalán jelenik meg.

Oldal Baldassarre Boncompagni Leonardo de Pisa "Liber Abaci" című könyvéből (1202) 1857-ben, amelyben a négy súly problémája úgy tűnik, hogy az összes súlyt 1 és 40 között éri el.

"A számok erdője" (2017), Emmanuelle Moureaux, a tokiói Nemzeti Művészeti Központban. Köszönet @ molinos1282

Bibliográfia

1.- Heinrich Dörrie, Az alapmatematika 100 nagy problémája, történetük és megoldásuk, Dover, 1965.

2.- Claude Gaspard Bachet de Méziriac, Problèmes Plaisants et Délectables, Mi a betűkészlet a nevekhez?, 1612.

3.- Miodrag S. Petrovic, A nagy matematikusok híres rejtvényei, AMS, 2009.

4.- W. W. Rouse Ball, Matematikai kikapcsolódás és esszék, Macmillan és Társai, 1892.

5.- Pisai Leonardo, Liber Abaci (1202), a Baldassarre Boncompagni kiadás 1. kötete, 1857.

A szerzőről: Raúl Ibáñez az UPV/EHU Matematika Tanszékének professzora és a Tudományos Kultúra Tanszékének munkatársa