Szilárd, merev
Tevékenységek
A legtöbb tankönyv a szögimpulzus megőrzésének elvének bevezetésekor megemlíti, hogy a korcsolyázó növeli a szög forgási sebességét azáltal, hogy karját és lábát közelebb hozza a testhez. A korcsolya és a jég közötti súrlódási erőt figyelmen kívül hagyva a külső erőknek nincs pillanata.
A fő tehetetlenségi tengely körül forgó merev szilárd anyaghoz L= Iω.
A szögsebesség növekedését a tehetetlenségi pillanat csökkenésével magyarázzák.
Meg van írva a korcsolyázó szögmomentumának megőrzésének elve I1 ω1=I2 ω2
A szögimpulzus megőrzése
Ezen az oldalon egy korcsolyázó modell ismertetésre kerül, amely egy merev rúdból és két tömegből álló rendszerből áll, amelyek súrlódás nélkül csúszhatnak a rúd mentén. A rúd a testet képviseli, és a csúszó tömegek a karokat és a lábakat, az izmok működését két rugó képviseli, amelyek a rúd végeit egyesítik a csúszó tömegekkel. A rendszer a rúdra merőleges és a középpontján áthaladó tengely körül foroghat.
Az ábrán látjuk az által alkotott rendszert
Vékony, merev tésztarúd M és hossza 2R
Két egyenlő csúszó tömeg m /2 darab
Két egyenlő állandó rugó k, amelyeket úgy alakítottunk ki, hogy deformálatlan hosszúságuk egyenlő legyen R. Minden rugó a rúd egyik végéhez, a másik a csúszó masszához van rögzítve.
Kezdetben a rendszer az O-n áthaladó tengely körül állandó szögsebességgel forog ω0. Egy eszköz távol tartja a két csúszó tömeget r0 A tengelyből. Meghatározzuk a forgás szögsebességét, amikor a két csúszó tömeg elengedésre kerül.
A kezdeti szögimpulzus az
az első kifejezés zárójelben Iv, a rúd tehetetlenségi nyomatéka Iv = M(kétR) 2/12 = ÚR 2. 3,
a második tag a két egyenlő tömeg tehetetlenségi nyomatéka m/ 2 távoli r0 forgástengely.
A végső szögimpulzus, amikor a két csúszó tömeg találkozik az origóban r= 0, van
A tehetetlenségi pillanat csökkenésével a forgási szögsebesség növekszik ω>ω0.
A csúszó tömegek mozgása
Tanulmányozni fogjuk a két csúszó tömeg mozgását a kezdeti állapottól a végéig.
A nem inerciális referenciarendszerben helyezkedünk el, amely a rúddal szögsebességgel forog ω. Minden tömegen (m/ 2) pontban található r a forgástengelyre a következő erők hatnak:
Az összenyomott rugó erőt fejt ki F=-k r
Ezen erők hatása alatt a tömeg m/ 2 gyorsulást tapasztal nak nek sugárirányban, a rúd mentén
Newton második törvénye meg van írva
Most a forgás szögsebessége ω, nem állandó, attól függ r a szögimpulzus megőrzésével nyerjük L =(Iv + mr 2 )ω,
A differenciálegyenlet, amely leírja egy tömeg sugárirányú mozgását, vagyis a rúddal együtt mozgó referenciarendszerben:
Ezt a differenciálegyenletet numerikus eljárásokkal integráljuk a következő kezdeti feltételekkel: pillanatnyilag t= 0, a tömeg radiális sebessége dr/dt= 0, és annak távolsága a tengelytől r=r0.
Potenciális energiagörbék
A rendszer kezdeti energiája, amikor a tömegek alá vannak vetve, a
a tangenciális sebességgel mozgó két tömeg mozgási energiája ω0 r0.
a szögsebességgel mozgó rúd mozgási energiája ω0
a két összenyomott rugóban tárolt elasztikus energia r0.
Az első két tag összege a rúd és a két tömeg által alkotott rendszer mozgási energiája.
Amikor a két tömeg elengedik és egymástól távol találkoznak r a forgástengely. A rúd, a két tömeg és a két egyenlő rugalmas rugó által képzett rendszer energiáját polárkoordinátákban írják fel
Az első kifejezés a két tömeg mozgási energiája, amely viszont két kifejezésből áll:
Az első származék dr/dt ez a sugárirányú sebesség, a rúd mentén csúszó tömeg sebessége;
A második derivált a tangenciális irányú sebesség dθ/dt = ω, mekkora a rúd szögsebessége.
A második kifejezés a rúd kinetikus energiája
A harmadik tag a két rugóban tárolt elasztikus energia
Figyelembe véve, hogy a szögimpulzus állandó, megírhatjuk az energiát ÉS a rendszer függvényében r és származéka dr/dt,
Megosztjuk az energiát ÉS a két egyenlő tömeg között figyelembe vehetjük, hogy mindegyikük hatékony potenciálban mozog
Az egyes tömegekre ható erőt a potenciális energia levezetésével és a jel megváltoztatásával kapjuk.
hogy amint látjuk, különbség van a centrifugális erő és az összenyomott rugó által kifejtett erő között.
Az ábrán megadjuk a kiindulási helyzetből kilépő két tömeg tényleges potenciáljának ábrázolását r0, radiális sebességgel dr/dt= 0. Ha a teljes energiád ÉS (vízszintes vonal), a tömegek az origóhoz érkeznek r= 0 egy bizonyos idő után.
Amikor a tömegek távolságra vannak r Eredeti potenciális energiáját egy függőleges vörös szegmens és egy kék szegmens képviseli, a kinetikus energia a radiális irányú mozgásának felel meg a rúd mentén.
Megfigyeljük, hogy a forgás szögsebessége ω, maximálisan nő, amikor a tömegek a tengelyhez tapadnak.
| Az ábrán más a helyzetünk, a tömegek a kiindulási helyzetből kerülnek ki r0, radiális sebességgel dr/dt= 0. Ha a teljes energiád ÉS, ne érje el a forgástengelyt, hanem távolról közelítse meg r1, változtassa meg a sebesség irányát, távolodjon el a tengelytől, amíg el nem éri a kiinduló kiindulási helyzetet, és így tovább sugárzik. |
Megfigyeljük, hogy a forgás szögsebessége ω, addig nő, amíg el nem éri a maximumot, amikor a tömegek megközelítik a tengelyt, majd csökken, amikor eltávolodnak a tengelytől.
Távolság r1 Kiszámíthatjuk az elhelyezéssel dr/dt= 0 a teljes energia kifejezésében ÉS. A negyedik fok egyenletét kapjuk meg r amelyet másodfokú egyenletre redukálhatunk, amelynek megoldásai r0 Y r1. Lásd az alábbi 2. példát.
| Ha a rugalmas állandó, k kicsi és a tömegek nagyok, szabadon engedve távolodnak a központi tengelytől, amíg el nem érik a rúd végeit. |
Példák
A két blokk tömege m= 0,5 kg
Minden tavasz állandó k= 1 N/m
Kezdeti távolság a forgástengelyhez r0= 0,6 m
A rúd tehetetlenségi nyomatéka Iv= 1/12 kg m 2
A forgás kezdeti szögsebessége ω0= 1 rad/s
Megfigyeljük, hogy egy bizonyos idő után a tömegek a forgástengelyhez tapadnak
A kezdeti szögimpulzus az
A végső szögimpulzus az
L= (1/12)ω
A forgás végső szögsebessége az ω= 3,16 rad/s
Az előző példával megegyező adatokkal megváltoztatjuk a szögimpulzust, változtatva a két tömeg forgástengelyének távolságát r0= 0,9.
A kezdeti szögimpulzus az
A két tömeg, a rúd és a két rugó által képzett rendszer energiája
A két tömeg az origó felé mozog, de visszamennek a radiális sebességük irányát megváltoztatva, ha távolságban vannak r1 amelyet kiszámításával számolunk dr/dt= 0 a teljes energia kifejezésében ÉS alapján r.
Néhány művelet után megmarad az egyenlet
kétmkr 4 +két(Ivk-mE)r 2 +L 2 -kétIvE= 0
E példa adataival
r 4 -0,8875r 2 +0,0628 = 0
Helyettesítés x = r 2 van egy másodfokú egyenletünk, amelynek gyökerei vannak x1= 0,81, és x2= 0,0775, vagy ennek megfelelő r1= 0,9, és r2= 0,28.
Szögsebesség ω forgatás maximális r= 0,28 m
L= (1/12 + 0,5 0,28 2)ω
a szögimpulzus állandóságából kapjuk ω= 3,98 rad/s
A két blokk tömege m= 2 kg
Minden tavasz állandó k= 0,2 N/m
Kezdeti távolság a forgástengelyhez r0= 0,6 m
Megfigyeljük, hogy a két tömeg eltávolodik a tengelytől, amíg el nem éri a rúd végeit.
A kezdeti szögimpulzus az
A végső szögmomentum r= 1 m
L= (1/12 + 2 · 1 2) ·ω
A forgás végső szögsebessége kisebb, mint a kezdeti ω= 0,39 rad/s
Tevékenységek
Tömeg m a két blokk közül kg-ban, a szerkesztés vezérlőben Tömegtömbök.
A rugalmas állandó k az egyes rugók N/m-ben, a szerkesztés vezérlőben Cte. Dokk.
A kiinduló helyzet r0 A két tömeg közül a forgástengelytől való távolságuk a görgetősávra hat Blokk pozíció.
A vékony rúd tehetetlenségi pillanatát beállítottuk Iv= 1/12 kgm 2
A kezdeti forgási sebességet rögzítettük ω0= 1 rad/s
Nyomja meg a címet Új.
Megfigyeljük a rendszer forgását, szögsebességgel ω0= 1 rad/s, a két tömeget távolság választja el egymástól r0 a forgástengely helyzetét egy eszköz segítségével.
Az applet jobb oldalán az effektív potenciális energia van ábrázolva Vef (r) és a teljes energia ÉS a rendszer vízszintes vonallal. A görbe és az egyenes az abszcisszapontban találkozik r0.
Nyomja meg a címet Indul
Megfigyeljük a tömegek mozgását a rúd mentén. A kisalkalmazás bal felső részében megadják a tengelytől való távolságának és a forgási szögsebességnek az adatait. ω a rendszer.