Dinamika
Tevékenységek
Az "Egyszerű inga" című oldalon tanulmányoztuk ezt a tömegrészecske által alkotott eszközt m elhanyagolható tömegű elhúzhatatlan szál tartja l.
Ezen az oldalon az egyszerű ingát egy mobil tömegplatformra helyezzük M súrlódás nélkül csúszik vízszintes síkon.
Egyszerű ingának mozgásegyenlete
Tegyük fel, hogy egy egyszerű tömeg-inga m és hossza l szöget zár le θ0 az egyensúlyi helyzetből és elengedik.
Az energia megőrzésének elve
Az energiamegmaradás elvét alkalmazzuk a részecske sebességének kiszámításához, amikor az inga szöghelyzetben van θ.
Meghatározzuk a potenciális energia nulla szintjét az O forgástengelyen
Mivel a részecske sugárirányú körmozgást ír le l, sebesség v=l(dθ/dt). A zárójelben szereplő kifejezés a forgás szögsebessége.
Newton második törvénye
Az ábrán a tömegrészecskére ható erők láthatók m és a tangenciális komponensek nál nél= l(d 2 θ/dt 2 ) és normális an=v 2/l =l(dθ/dt) 2 gyorsulása.
Newton második törvényét alkalmazzuk
mat = -mg sen θ
Férfi =T-mgKötözősalátaθ
Az első egyenletet differenciális formában írjuk
Ezt a másodrendű differenciálegyenletet numerikus eljárásokkal oldjuk meg, a kezdeti feltételekkel t= 0, θ = θ0, (dθ/dt) = 0
A második egyenlet lehetővé teszi számunkra a kötél feszességének kiszámítását T ismert sebesség v a részecske. Sebesség v az energiatakarékosság elvének alkalmazásával kerül kiszámításra
Egyszerű ingának mozgásegyenlete mobil platformon
Tanulmányozzuk az inga és az emelet vízszintes mozgását. A vízszintes külső erő nulla, ezért a tömegközéppont nem mozog, ha kezdetben nyugalomban volt. Tegyük fel, hogy kezdetben az inga egyensúlyi helyzetben van, nyugalmi helyzetben, az emelvény tömegközéppontja felett. Az X vízszintes tengelyen való vetülete az O origóra mutat. Tehát az O kezdőpont az elszigetelt rendszer tömegközéppontjának a helyzete, amely nyugalmi állapotban marad, ha kezdetben nyugalmi helyzetben volt.
A rendszer tömegközéppontjának helyzete az eredet Xc= 0
Tegyük fel, hogy az inga az egyensúlyból szöggel elmozdul θ0 jobbra.
C.m. álláspontja a platform az xb.
A tömegrészecske helyzete m van xp=-xb+lSenθ.
A tömegközéppont helyzete Xc= 0
A szöghelyzet kapcsolata θ az inga helyzetét és a c.m. helyzetét a peronról xb van
A rendszer tömegközéppontjának sebessége az Vc= 0
A részecske sebességének komponensei a vízszintes síkban elhelyezkedő inerciális megfigyelőhöz képest
vízszintes: vkötözősaláta θ +Vb
függőleges: vSenθ
A sebesség kapcsolata v részecske és sebesség Vb a platform az
(1)
Az energia megőrzésének elve
Ha az inga forgástengelyén megállapítjuk a potenciális energia nulla szintjét. Az energia megőrzésének elve meg van írva, lásd az előző ábrát.
(két)
Helyettesítjük (1) Vb alapján v, és tisztázzuk v=l(dθ/dt) (2)
A rendszer tömegközéppontjának gyorsulása Ac= 0
A részecske gyorsulásának vízszintes és függőleges komponensei a vízszintes síkban elhelyezkedő inerciális megfigyelőhöz képest
nál nélkötözősaláta θ-ansenθ +ab
ankötözősaláta θ+nál nélsenθ
A tangenciális komponensek kapcsolata nál nél és normális an a részecske gyorsulásának és a gyorsulásnak ab a platform az
(3)
Newton második törvénye
A részecskére ható erők:
A feszültség T
A súlyt mg
A peronon lévő erők:
A feszültség T a kötél
A részecske gyorsulásának tangenciális és radiális komponensei a vízszintes síkban elhelyezkedő inerciális megfigyelőhöz képest
A tangenciális irányú mozgásegyenlet az
m (a + ab-nálKötözősaláta θ ) =-mgsen θ (4)
A normál irányú mozgásegyenlet az
m(an-abSenθ) =T- mgkötözősalátaθ (5)
A platform mozgásegyenlete
TSenθ=Mab (6)
Helyettesítjük ab a (3) - (4) pontokig, és figyelembe véve azt an=l(dθ/dt) 2 és nál nél= l(d 2 θ/dt 2 ) a következő másodrendű differenciálegyenlethez jutunk
Amit numerikus eljárásokkal oldunk meg a következő kezdeti feltételekkel
t= 0, θ = θ0, (dθ/dt) = 0
Amikor a tészta M az emelvény tömege a tömeghez képest nagyon nagy m a részecske, m/M→ 0 megkapjuk az inga mozgásának differenciálegyenletét.
Ellenőrizzük, hogy a mozgás differenciálegyenlete helyes-e.
Az energiatakarékosság elvének alkalmazása megadja nekünk az elsőrendű differenciálegyenletet
Ezt az egyenletet vezetjük le az idő tekintetében
és újra megkapjuk a mozgás differenciálegyenletét
Kötélfeszültség
Az (5) és (6) egyenletből megoldjuk a kötél feszültségét
Ismert forgásszög (dθ/dt) a feszültség megszűnik T a kötél
Példa: tegyük fel, hogy az inga eltér θ0= 90є és elengedték. Amikor áthalad az egyensúlyi helyzeten θ= 0, a kötél feszültsége
Valamivel magasabb, mint amikor a platform rögzítve van T /(mg) = 3
Amikor a tészta M az emelvény tömege a tömeghez képest nagyon nagy m a részecske, m/M→ 0 kapunk
Példa
Platform tömeg M= 2 kg, a részecske tömege m= 1 kg, így a hányados M/m= 2,0
Inga hossza, l= 1,0 m
Az inga elhajlásának kezdeti szöge θ0= 90є
Az emelvény balra sodródik, úgy, hogy a c.m. elszigetelt rendszer marad a forrásnál
Számolja ki a pozíciót xb platform, sebesség v a részecske sebessége Vb emelvény és feszültség T a kötél mikor θ= 30є
A lendület és az energia megőrzése biztosítja számunkra a két egyenletet, amelyek lehetővé teszik számításunkat v Y Vb.
v= -4,75 m/s, Vb= 1,37 m/s
A feszültség T akkordját az egyenletpár kiszámítja
T Sen θ =Mab (6)
m (an-abSen θ ) =T- mgkötözősaláta θ (5)
T Sin30є = 2Ab (6)
1 (4,75 2 /1.0-abSen30є) =T- 1 9,8 cos30є (5)
A gyorsulás kiküszöbölése ab a peronról kitisztítjuk T= 27,66 N
Összehasonlítás
Az ábra mutatja az inga (kék színű) és ugyanazon inga (piros színű) mobil platformra szerelt ingájának rezgéseinek összehasonlítását. M=m Az inga periódusa a mobil platformon kisebb.
Az ábra a peron helyzetét mutatja xb az idő függvényében. Megfigyelték, hogy jelentősen különbözik az egyszerű harmonikus mozgástól.
Tevékenységek
A kezdési szög θ0,, című görgetősávon jár el Szög
Az emelvény és a részecske tömegének hányadosa M/m, című szerkesztési vezérlőben Hányados
Az inga hosszát rögzítettük l= 1m.
Nyomja meg a címet Rajt és akkor, Indul
Új élmény elindításához nyomja meg a gombot Rajt
Hasonlítsa össze az inga viselkedését, amikor az emelvény tömege M az inga tömegének nagyságrendjében van m és amikor sokkal idősebb. Például, M/m= 2. és mikor M/m= 100.
Az applet tetején a relatív adatok találhatók:
Hivatkozások
Fizikai kihívások a tanárok és a diákok számára (Megoldások 2004. novemberre), The Physics Teacher 43 (2005), pp. s2-s3