A gumiból készült anyagok nem Hooke törvényei szerint működnek. Ezen az oldalon egy He gázzal felfújt léggömb viselkedését tanulmányozzuk.

Figyelembe vesszük egy olyan léggömb esetét, amely a tengerszinten héliumgázzal tölt fel és felszabadul. Tanulmányozni fogjuk a földgömb felemelkedési mozgását.

Ez egy példa, amely integrálja a részecske, a folyadékok és a termodinamika dinamikáját

Nyomás egy léggömb belsejében

Ha egy deformálatlan r0 sugarú ballont r> r0 sugárra fújunk, a ballon felülete a deformáció miatt rugalmas energiát nyer. A rugalmassági energia kifejezése, ha a léggömb T hőmérsékletű környezetben van

U = 4 π r 0 2 k R T (2 r 2 r 0 2 + r 0 4 r 4 - 3)

ahol k állandó mol/m 2 egységben, R = 8,3143 J/(K mol) a gázállandó .

A léggömb sugarának ra r + dr-tól való növeléséhez szükséges munka a belső Pint és a külső Pext közötti ΔP nyomáskülönbség hatására a ΔP nyomáskülönbség és a d V = d térfogatnövekedés szorzata. 3 π r 3) = 4 π r 2 dr

Ezt a munkát a léggömb felületének rugalmas energiájának növelésére fektetik.

d W = (d U dr) dr = 16 π k RT (r - r 0 6 r 5) dr 4 π r 2 Δ ​​P dr = 16 π k RT (r - r 0 6 r 5) dr Δ P = 4 k RT r 0 (r 0 r - r 0 7 r 7) P int ⁡ - P ext = 4 k RT r 0 (1 λ - 1 λ 7) λ = rr 0

Az ábra a függvény grafikonját mutatja

f (λ) = (1 λ - 1 λ 7)

léggömb

A nyomáskülönbség gyorsan növekszik a λ = r/r0 hányadossal, eléri a maximumot, majd nagy λ értékek esetén 1/λ-ként csökken.

Megkapjuk a függvény végletét, az f (λ) függvény deriváltját nullával állítjuk be

- 1 λ 2 + 7 1 λ 8 = 0 λ 6 = 7 λ = 1,383

A léggömb felfújása

Kezdetben a léggömb Pext = P0 légköri nyomású és T0 hőmérsékletű környezetben n0 mol héliumgázt tartalmaz, sugara pedig r0. A ballonban lévő gáz nyomása P0. Az ideális gázegyenlet az

P 0 4 3 π r 0 3 = n 0 R T 0

Csatlakoztatjuk a léggömböt egy gázpalackhoz, amely Δn vakondokkal látja el. A ballon belsejében lévő gázmólok száma n = n0 + Δn. Az r sugarú gömb alakú léggömb belsejében a nyomás P.

Az ideális gázegyenletből

P 4 3 π r 3 = n R T 0 = n n 0 P 0 4 3 π r 0 3 P λ 3 = P 0 n n 0

Mivel a léggömb belső és külső része közötti nyomáskülönbség az

P - P 0 = 4 k R T 0 r 0 (1 λ - 1 λ 7)

Ezt a két egyenletet egyesítve kiszámítjuk a ballon sugárját λ = r/r0

n n 0 1 λ 3 - 1 = 16 π k r 0 2 3 n 0 (1 λ - 1 λ 7)

a polinom valódi gyöke

λ 7 + b λ 6 - a λ 4 - b = 0 a = n n 0 b = 16 π k r 0 2 3 n 0

A λ kiszámítása után valamilyen numerikus eljárással a léggömb belseje és külseje közötti nyomáskülönbség megegyezik

Δ P = P 0 16 π k r 0 2 3 n 0 (1 λ - 1 λ 7)

Példa.

  • Légköri nyomás, P0 = 101300 Pa
  • Környezeti hőmérséklet, T0 = 30º = 303 K
  • A ballon kezdeti sugara r0 = 42 cm
  • A k = 0,466235 állandó értékét beállítottuk

A kezdeti mol mol száma

P 0 4 3 π r 0 3 = n 0 R T 0 n 0 = 12,5

A befecskendező szivattyú minden egyes bekapcsolásakor a ballonban lévő gáz 5 mol-kal nő.

A földgömb új sugarának kiszámításához meg kell oldania az egyenletet

λ 7 + b λ 6 - a λ 4 - b = 0 a = 12,5 + i · 5 12,5 b = 16 π · 0,4623 · 0,42 2 3 · 12,5 = 0,10931 i = 1,2,3. Δ P = 101300 · 0,10931 (1 λ - 1 λ 7) = 11073,1 (1 λ - 1 λ 7) Pa

valamilyen numerikus eljárással, majd kiszámoljuk a ballon belseje és külseje közötti ΔP nyomáskülönbséget.

Megkapjuk a nyomást cm vízben, szorozva h-t kettővel, amint azt az alábbi szimulációban láthatjuk

Tevékenységek

A gomb címmel Új

A gomb címmel Indul

5 mol gázt injektálnak a ballonba

Az interaktív program kiszámítja a léggömb r sugarát cm-ben és a ΔP nyomáskülönbséget Pa-ban. A manométer méri a víz nyomáskülönbségét cm-ben. Például a 4473,3 Pa nyomáskülönbség ekvivalens

Δ P ρ g = 4473,3 1000 9,8 = 0,4564 m = 2 22,8 cm

A gomb címmel Indul és a léggömböt további 5 mol gázzal felfújják és így tovább.

Egy léggömb, amely felemelkedik

A gömb alakú léggömböt n mól héliumgázzal töltjük fel a tengerszinten, ahol a nyomás P0 és a hőmérséklet T0. Ha Pint a nyomás a léggömb belsejében

P int ⁡ 4 3 π r 3 = n R T 0

A léggömb belső és külső része közötti nyomáskülönbség

P int ⁡ - P 0 = 4 k R T 0 r 0 (1 λ - 1 λ 7) λ = r r 0

A földgömb sugara a tengerszint felett az egyenlet gyökere

λ 7 + b λ 6 - a λ 4 - b = 0 a = n n 0 b = 16 π k r 0 2 3 n 0

A nyomás magasságváltozása lineáris atmoszférában

Feltételezzük, hogy a T hőmérséklet lineárisan csökken a magassággal és.

T = T 0 (1 - y y 0)

A nyomás és a magasság változását a folyadék statikájának alapvető egyenletéből vezetik le

az ideális gázegyenlet mellett

P V = m M A R T P = ρ M A R T

ahol MA = 0,0289 kg/mol a levegő molekulatömege.

d P = - PMA gy 0 RT 0 1 y 0 - ydy ∫ P 0 P d PP = - MA gy 0 RT 0 ∫ 0 y 1 és 0 - ydy ln ⁡ PP 0 = η (ln ⁡ (y 0 - y) - ln ⁡ y 0) η = MA gy 0 RT 0 P = P 0 (1 - yy 0) η

  • MA = 0,0289 kg/mol a levegő molekulatömege.
  • R = 8,3143 J/(K mol) a gázállandó .
  • A T hőmérséklet lineáris függésének a magassággal és az év egy bizonyos napjával történő beállításához T0 = 303 K tengerszintre, y0 = 49 km = 49000 m

A léggömb emelkedésével a belső és a külső nyomáskülönbség növekszik, ezért a ballon sugara megváltozik.

Magasságban, a nyomás P és a hőmérséklet T. A földgömb új sugárának kiszámításához hasonló egyenleteket használunk, amelyek hasonlóak a földgömb tengerszint sugarának kiszámításához.

P int ⁡ 4 3 π r 3 = n R T P int ⁡ - P = 4 k R T r 0 (1 λ - 1 λ 7) λ = r r 0

Megkapjuk az egyenletet

3 n RT 0 (1 - yy 0) 4 π r 3 - P 0 (1 - yy 0) η = 4 k RT 0 (1 - yy 0) r 0 (1 λ - 1 λ 7) nn 0 P 0 λ 3 (1 - yy 0) - P 0 (1 - yy 0) η = 16 π k P 0 r 0 2 3 n 0 (1 - yy 0) (1 λ - 1 λ 7) nn 0 1 λ 3 - ( 1 - yy 0) η - 1 = 16 π kr 0 2 3 n 0 (1 λ - 1 λ 7) (1 - yy 0) η - 1 λ 7 + b λ 6 - a λ 4 - b = 0 a = nn 0 b = 16 π kr 0 2 3 n 0

Ezt az egyenletet megoldva megkapjuk a léggömb vagy λ sugarát y magasságban.

Amikor y = 0 tengerszinten, akkor az előző szakaszból kapjuk az egyenletet.

  • MA = 0,0289 kg/mol a levegő molekulatömege.
  • R = 8,3143 J/(K mol) a gázállandó .
  • A k = 0,466235 állandó értékét beállítottuk
  • T0 = ​​303 K tengerszint feletti magasságot veszünk, y0 = 49 km = 49000 m
  • Légköri nyomás tengerszint felett (y = 0), P0 = 101300 Pa
  • A léggömb kezdeti sugara, r0 = 42 cm
  • A léggömböt 45 mól He tölti ki, ki akarjuk számítani a ballon sugarát y = 1000 m magasságban

Egyensúly

Tegyük fel, hogy a ballon tömege, a gázt és az előtétet is beleértve, M.

A léggömb leállítja emelkedését, amikor a súlyt kiegyenlíti a tolóerő.

A tolóerő a léggömb által kiszorított levegő súlya

E = ρ airg 4 3 π r 3 = MAPRT g 4 3 π r 3 = MAP 0 RT 0 (1 - yy 0) η - 1 g 4 3 π r 3 E = MA n 0 g λ 3 (1 - yy 0 ) η - 1

Egyensúlyi súly esetén megegyezik a tolóerő, Mg = E.

Kombinálva azt az egyenletet, amely megkapja a ballon sugarát egy magasságban, és az egyensúlyi egyenlettel azon a magasságon.

M = MA n 0 b + a λ 4 - b λ 6 λ 7 b λ 6 + (MMA n 0 - a) λ 4 - b = 0 x 3 + 1 b (MMA n 0 - a) x 2 - 1 = 0 x = λ 2

Miután megkapta λ = r/r0, a maximális magasság kitisztul és az első egyenletben.

Példa:

  • Légköri nyomás tengerszint felett (y = 0), P0 = 101300 Pa
  • A léggömb kezdeti sugara, r0 = 42 cm
  • A k = 0,466235 állandó értékét beállítottuk

A kezdeti mol mol száma

P 0 4 3 π r 0 3 = n 0 R T 0 n 0 = 12,5

  • A léggömböt n = 45 mol héliumgázzal töltjük meg
  • A ballon tömege a gázzal és az előtéttel együtt M = 1,12 kg
  • MA = 0,0289 kg/mol a levegő molekulatömege.
  • T0 = ​​303 K tengerszint feletti magasságot veszünk, y0 = 49 km = 49000 m

A ballont elengedik. Számolja ki az elért maximális magasságot

Meg kell oldanunk a köbös egyenletet

x 3 + 1 b (M M A n 0 - a) x 2 - 1 = 0 x = λ 2 a = n n 0 b = 16 π k r 0 2 3 n 0

A mellékelt adatokkal,

ennek az egyenletnek valódi gyöke és két komplex konjugátuma van. A számológép segítségével a "köbös egyenlet gyökerei" oldalon feltüntetett műveletek elvégzéséhez megkapjuk a valós megoldást x = 4,6174, vagy, λ = 2,1488.

Az előző részben megoldottuk a problémát, megadva a magasságot és kiszámítva a ballon sugarát. Most megoldjuk az inverz feladatot, mivel a sugár vagy λ kiszámítja a magasságot, és amelyben a ballon egyensúlyban marad

(1 - y y 0) η - 1 = b + a λ 4 - b λ 6 λ 7 η = M A g y 0 R T 0

y = 11143 m-t kapunk

A léggömb mozgása a talajtól az egyensúlyi magasságig

A léggömbön lévő erők:

  • Súly, Mg
  • A nyomás, E
  • A sebesség négyzetével arányos Fr súrlódási erő.

Feltételezzük, hogy a három erő mindenkor kiegyensúlyozott, a határsebesség eléréséhez szükséges idő nagyon kicsi, nagyon közelről indulva.

Feltételezzük, hogy a súrlódási erő arányos a sebesség négyzetével, mint az ejtőernyő esetében. A súrlódási erő arányosságának állandója az

  • ρ a levegő sűrűsége, amely változik a magassággal és.
  • A az elülső keresztmetszet levegőnek kitett területe, az A = πr 2 gömb esetében
  • A δ egy olyan együttható, amely a tárgy alakjától függ, a gömb esetében δ = 0,4

A mozgás egyenlete az

MA n 0 g λ 3 (1 - yy 0) η - 1 - M g = 0,2 MAP 0 RT 0 (1 - yy 0) η - 1 π r 2 v 2 MA n 0 g λ 3 (1 - yy 0) η - 1 - M g = 0,3 MA n 0 2 r 0 (1 - yy 0) η - 1 λ 2 v 2

Az első rendű differenciálegyenletet meg kell oldani a következő kezdeti feltétel mellett: t = 0, y = 0 időpontban a tengerszint egy része.

d y d t = 20 3 g r 0

Minden y értékre ki kell számítani a léggömb r sugarát, vagy az egyenletet megoldó λ = r/r0 hányadost.

(1 - y y 0) η - 1 λ 7 + b λ 6 - a λ 4 - b = 0 a = n n 0 b = 16 π k r 0 2 3 n 0 η = M A g y 0 R T 0

Példa:

  • A léggömböt n = 45 mol héliumgázzal töltjük meg

Számítsa ki a ballon kezdeti sebességét, amikor y = 0.

Az előző szakasz interaktív programjával kiszámítjuk a földgömb kezdeti sugarát a tengerszinten.

Ábrázoljuk a ballon dy/dt sebességét a magasság és a ballon függvényében, amíg el nem éri az egyensúlyi magasságot. Az előző szkriptet ugyanazokkal az adatokkal töltjük ki:

  • MA = 0,0289 kg/mol a levegő molekulatömege.
  • R = 8,3143 J/(K mol) a gázállandó .
  • A k = 0,466235 állandó értékét beállítottuk
  • T0 = ​​303 K tengerszint feletti magasságot veszünk, y0 = 49 km = 49000 m
  • Légköri nyomás tengerszint felett (y = 0), P0 = 101300 Pa
  • A léggömb kezdeti sugara, r0 = 42 cm
  • A léggömböt 45 mól He tölti ki

Tevékenységek

  • A ballon M tömege, beleértve a gázt és az előtétet, a kontrollban Tömeg
  • Címmel megadva a golyómólok száma n, amelyekkel a ballont felfújják Vakondok.

A gomb címmel Új

Ha a tolóerő nagyobb, mint a súly, a ballon felemelkedik. A sebesség négyzetével arányos súrlódási erő hat a léggömbre is, amely a ballont folyamatosan egyensúlyban tartja (a gyorsulás nulla). A sebesség azonban változik, mert a tolóerő a léggömb magasságával változik.

A bal oldalon a nyomás változása a magassággal,

P = P 0 (1 - y y 0) η

a hőmérsékleti adatokat Celsius-fokban adjuk meg.

T = T 0 (1 - y y 0)

Egy piros sáv azt jelzi, hogy a levegő sűrűsége csökken a magassággal, a sötétvörös szín sűrűbb levegőt, a világospiros pedig kevésbé sűrű levegőt jelez.

ρ = ρ 0 (1 - y y 0) η - 1

A szalagban a léggömb mozog, és a rá ható erők nyilakkal jelennek meg:

  • Súly, fekete
  • A nyomás, piros színnel
  • A súrlódási erő kék színű

A jobb felső sarokban a léggömb látható, mivel annak sugara növekszik.

A jobb alsó sarokban a léggömb sebessége a magasság függvényében jelenik meg.

Megfigyeljük, hogy a sebesség az emelkedési út nagy részében szinte állandó és egyenlő a kezdeti sebességgel, és gyorsan csökken a maximális magasság közelében, amelyet eléri.

Hivatkozások

Elméleti kérdés 2. Nemzetközi fizikaolimpia verseny 2004-ben Dél-Koreában.

Merritt D. R., Weinhaus F. A gumi léggömb nyomásgörbéje. Am. J. Phys. 46 (10), 1978. október, pp. 976-977