Égi dinamika

A Kinematika fejezetben a lokális vízszintes síkban a parabolikus pályákat leíró lövedékek mozgását vizsgáltuk, feltételezve, hogy a gravitáció gyorsulása állandó.

Az "Univerzális gravitáció törvényének felfedezése" című oldalon megfigyeltük, hogy egy bizonyos magasságból kilőtt lövedék elliptikus utat ír le, amelynek egyik fókuszánál a Föld középpontja található. A parabolikus pályák az elliptikus pályák közelítései, amikor a lövedék hatótávolsága és maximális magassága a Föld sugarához képest nagyon kicsi.

Azt is feltételezzük, hogy a Föld nem forog a tengelyén. A Föld forgásának hatását a "Leeső test kelet felé történő eltérése" című oldalon ismertetjük.

Ezen az oldalon meg fogjuk határozni a magasságból kilőtt lövedék pályáját h, kezdeti sebességgel v0 szöget készíteni φ sugárirányban.

Ezen az oldalon a következő információkra lesz szükségünk:

A Föld sugara R= 6,37 · 10 6 m

A Föld tömege M= 5,98 · 10 24 kg

Az állandó G= 6,67 10 -11 Nm 2/kg 2

magasságból

A pálya egyenlete

Tömeges lövedéket lőnek ki m távolról r0=R + h a Föld közepétől, sebességgel v0 szöget készíteni φ a sugárvektorral. A lövedék szögmomentuma és energiája

Az út egyenlete polárkoordinátákban az

Ha a lövedék energiája negatív ÉS 6 + 6,37 10 6 m

A lövedék maximális magassága h= 18,03 · 10 6 -6,37 · 10 6 = 11,66 · 10 6 m

Az a sebesség, amellyel eléri a Föld felszínét v= 8999,6 m/s

A lövés szöge φ= 180є.

Perdület L= 0, tehát az út egyenes vonal az erők középpontján keresztül. A lövedék a sugárirány mentén ereszkedik le, amíg el nem éri a Föld felszínét ugyanazzal a sebességgel, mint amit az előző szakaszban kiszámítottunk.

Egy lövedéket indítunk a helyzetből r0= 6,0 10 6 + 6,37 10 6 m kezdeti sebességgel v0= 4500 m/s sugárirányban és a Föld közepe felé

Az a sebesség, amellyel eléri a Föld felszínét v= 8999,6 m/s

A lövés szöge φ= 90є.

Maximális hatósugár

A maximális tartomány akkor fordul elő, amikor a perigee R, és az apogee az r0 = h + R.

Mivel a szögimpulzus és az energia a pálya minden pontján állandó, különösen a perigéjén és az apogeénél,

Az adatok r0 Y R és az ismeretlenek v Y v0. A tűz sebessége

Példa: Legyen h= 6000 km, vagy a sugárirányú távolság r0= 12,37 · 10 6 m

Kiszámoljuk a tűz sebességét, v0= 4681,969 m/s

Az ellipszis féltengelye az nak nek= (R + r0) /2=14.37·10 6 m

A repülési idő az időszak fele

Az ütközési pont helyzete

Amint az ábrán láthatjuk, a lövedék elhagyja a helyzetet θ= π, és hatással van a pozícióra θ= π-α amikor r = R.

felrakás r = R A pálya egyenletében megoldjuk a szöget θ.

Az előző esetek ugyanazon adataival folytatva:

Lövés sugárirányú távolság r0= 12,37 · 10 6 m

Kezdeti sebesség v0= 4500 m/s

Lövési szög φ= 90є.

Megkapjuk a szögimpulzus és a lövedék energiájának értékeit

L= 5,57 10 10 m kgm 2/s
ÉS= -22,12 10 6 m J

Az energia és a szögimpulzus ismeretében meghatározzuk az út egyenletét, a paraméter értékét d és különcség ε

ε= 0,372
d= 7,77 · 10 6 m

Ezekkel az adatokkal, amivel r= 6,37 · 10 6 m a pálya egyenletében megkapjuk a szöget θ= 0,934 rad.

Az ütközési pont és a lövési helyzet közötti szögtávolság

α= π-0,934 = 2,20 rad

Hívott ív ívhosszon s a Föld ennek a szögtávolságnak megfelelő kerülete, s = R a= 14,03 · 10 6 m

Repülési idő

Az árnyékolt terület az a terület, amelyet a sugárvektor söpör a szöghelyzetek között θ és π. Más szavakkal, ez az ellipszis része x Y nak nek mínusz az alap háromszög területe RKötözősalátaθ és magasság RSenθ, lény x = -c-RKötözősalátaθ

Tudva, hogy az ellipszis egyenlete

hol nak nek az ellipszis féltengelye, b a félig-moll tengely, és c a gyújtótávolság.

Közötti ellipszis rész területe x Y nak nek van

Az integráláshoz a változó megváltozott x=nak nekSen z. Az új integrációs korlátok a következők:

  • amikor x = a, z2= π/2,
  • amikor -RKötözősalátaθ-c=nak nekSen z1

Az árnyékos terület ezért érdemes

A terület kiszámításához a következő adatokra van szükségünk

nak nek= 9,82 · 10 6 m

c= 3,35 10 6 m

b= 8,37 · 10 6 m

Ezután megkapjuk z1 mi a szög függvénye θ= 0,934 rad az ütközési helyzetből. Miután elvégeztünk néhány műveletet a számológéppel, megkapjuk a sugár vektor által söpört terület értékét NAK NEK= 1 022 10 14.

Végül a repülési idő t van

A lövés szöge φ 6 m

Kezdeti sebesség v0= 4500 m/s

Lövési szög φ= 30є.

A lövedék energiája nem változik, de a szögimpulzus megváltozik

L= 2,78 10 10 m kgm 2/s
ÉS= -22,12 10 6 m J

Az energia és a szögimpulzus ismeretében meghatározzuk az út egyenletét, a paraméter értékét d és különcség ε

ε= 0,886
d= 1,94 10 6 m

Ezekkel az adatokkal kiszámoljuk az ellipszis fő tengelye által elforgatott szöget β =2,83 rad.

Az ütközési pont helyzete

Amint az ábrán láthatjuk, az ellipszis egyenletének beillesztésével kiszámítjuk az ütközési szöget r = R, mi adja meg a szöget θ ábrán látható, ugyanúgy, mint az előző esetben

Összekapcsoljuk a szögeket θ, α Y β. a szögtávolság kiszámításához α az ütközési pont és a lőhely között.

α= 2π-θ-β

a fenti adatokkal θ =2,47, és β =2,83 rad, a szögtávolság α= 0,981 rad (56,2є)

Repülési idő

A repülés ideje arányos az ellipszis árnyékolt területek összegével

A területek kiszámítása az előző esethez hasonlóan történik. Először szükségünk van az ellipszis paramétereinek értékeire:

féltengely nak nek= 9,02 10 6 m

gyújtótávolság c= 7,99 10 6 m

félig kisebb tengely b= 4,18 · 10 6 m

Kiszámoljuk az ellipszis részének a főtengely fölötti területét, amely a sugárvektor által a szöghelyzetből söpört terület θ= 2,47 ig θ= π. Korábban tudnunk kell, z1, ami viszont a szög függvénye θ becsapódási helyzet.

-RKötözősalátaθ-c=nak nekSen z1

Az eredmény az A1= 5,1786 10 13

Kiszámítjuk a sugárvektor által söpört főtengely alatti területet a szöghelyzetből β= 2,83 rad felfelé β = π.

Korábban tudnunk kell, z1, ami viszont a szög függvénye β= 2,83 rad, amely helyettesíti a szöget θ a terület képletében és r0 helyettesíti R

-r0Kötözősalátaβ-c=nak nekSen z1

Az eredmény az A2= 3,6620 10 13

A lövés szöge φ> 90є.

Röppálya

A lövedékek szögben lőttek φ és 180-φ azonos energiájúak és szögimpulzusuk van, az út egy ellipszis, amelynek paraméterei megegyeznek d, és különcség ε, de tájolása más.

Ha a lövés szöge 150є, az energia és a szögimpulzus megegyezik azzal, amikor a lövedéket 30є-on lőtték

ε= 0,886
d= 1,94 10 6 m

Amint az ábrán láthatjuk, a lövedék által követett pálya ellipszis, de egy szög elforgatja β. Ezt a szöget kiszámítva a r = r0 az út egyenletében

Ezekkel az adatokkal kiszámoljuk a szöget β =2,83 rad (piros szín), amely elforgatja az ellipszis fő tengelyét, ami az előző esetben alkalmazott megoldás, de a szög is megoldás β =2π-2,83 = 3,45 rad. (Kék szín)

Az ütközési pont helyzete

Az előző szakaszban kiszámoltuk az ütés szögét az ellipszis egyenletének beillesztésével r = R, amit a szög adott nekünk θ =2,47 rad

Összekapcsoljuk a szögeket θ, α Y β. az ütközési szög kiszámításához α.

α+θ+β-π = π vagy,

α =2π-β-θ =0,36 rad (20,4є)

amely ugyanaz a kapcsolat, amelyet az előző esetben kaptunk.

Repülési idő

A sugárvektor által a kezdeti kiindulási helyzettől az ütközésig sújtott terület két terület különbsége

A terület A1 a sugárvektor elsöpörte a helyzetből θ= 2,47 helyzetbe θ= π

A terület A2 sugárvektor által söpörve a 2π szögetől-β = 2,83 a π pozícióra.

Ez a két terület egybeesik a területekkel A1 Y A2 az előző esetben kiszámítva

Tevékenységek

A magasság h km-ben, ahonnan kilövik a lövedéket, a szerkesztés vezérlőben Magasság. A lövedék kezdeti helyzete r0=h1000 + 6,3710 6 m

Lövési sebesség v0 m/s-ban, a szerkesztés vezérlőben Sebesség

A sugáriránytól mérve az elsütési szög a görgetősáv ujjára hat Szög

Nyomja meg a címet Indul

A 0 és 180є szögeket kizártuk, mivel elemzésük egyszerűbb, és túlcsordulási hibákat okoznak a fő számítási rutinban.

Megfigyelik a lövedék mozgását, és megadják a Föld felszínén lévő ütközési pont és az indulás helye közötti szögtávolság adatait, valamint a lövedék által használt repülési időt.

Ha nagy a sebesség, akkor előfordulhat, hogy a lövedéket a Föld körüli pályára állítják.

Hogyan javasoljuk a gyakorlatokat,

Oldjon meg egy konkrét példát a számológéppel, amint az ezeken az oldalakon történt, és ellenőrizze az eredményeket az interaktív program által biztosítottakkal

A tűz sebességének beállítása, változtassa meg a tűz szögét, és keresse meg azt a szöget, amelyre a tartomány maximális

Állítsa be az égési magasságot, keresse meg azt a sebességet, amely a lövedéket a Föld körüli körpályára írja le.