Két matematikus azt mutatja, hogy bizonyos körülmények között a Navier-Stokes-egyenletek olyan eredményeket adnak, amelyeknek nincs értelme.

napjainkban

A Navier-Stokes-egyenletek egyaránt kiemelkedően praktikusak, végtelen valós alkalmazásokkal, és egy még ismeretlen megoldás egyik legnehezebb és leghíresebb tisztán matematikai problémájának eredete [NASA, töredék].

A Navier-Stokes-egyenletek néhány, tömör kifejezéssel rögzítik a fizikai világ egyik legelterjedtebb jellemzőjét: a folyadékáramlást. Az 1820-as évekbeli egyenleteket manapság az óceán áramlataitól kezdve a turbulenciáig mindent modelleznek egy repülőgép vagy a szív véráramlása nyomán.

A fizikusok úgy vélik, hogy bombabiztos megbízhatóságú egyenletek. A matematikusok viszont gyanakodva néznek rájuk. A matematikusok számára nem sokat jelent, hogy látszólag dolgoznak. Bizonyítékot akarnak annak tévedhetetlenségére, hogy bármennyire is folyékony, bármennyire is előre jelzik az áramlását a jövőben, az egyenletek matematikája továbbra is működni fog. Ez a garancia elkerülte őket. Az első (vagy az első csapat), amely megmutatja, hogy a Navier-Stokes egyenletek mindig működnek, vagy példát mutat, hogy nem, el fogja nyerni azt a millió dolláros díjat, amelyet a Clay Matematikai Intézet kínál azoknak, akik működnek, például az egyik az úgynevezett hét millenniumi problémákat.

A matematikusok számos módszert hoztak létre a probléma megoldására. Egy új, 2017 szeptemberében online megjelent munka komoly kérdéseket vet fel azzal kapcsolatban, hogy e megközelítések közül az egyik, amelyet idővel követtek, képes lesz-e sikeres lenni. Tristan Buckmaster és Vlad Vicol, a Princetoni Egyetem tanulmánya az első eredmény, amely megállapította, hogy bizonyos feltételezések mellett a Navier-Stokes-egyenletek egymásnak nem megfelelő leírást adnak a fizikai világról.

Így lehetnek összetett instabilitások két olyan folyadék evolúciójában, amelyek különböző sebességgel mozognak egymás mellett. A matematikusok tudni akarják, hogy a Navier-Stokes-egyenletek mindig kínálnak-e evolúciót és csak egyet a kezdeti állapotból [Készlet megjelölése].

"Fogalmunk van az ezekben az egyenletekben rejlő problémákról, és miért nagyon lehetséges, hogy ezeket újra kell gondolni" - mondja Buckmaster.

Buckmaster és Vicol munkája azt mutatja, hogy amikor a Navier-Stokes-egyenletek megoldásait vastagon nyomon követik (inkább vázlatként, mint fényképként), akkor az egyenletek olyan értelmetlen eredményekhez vezetnek: azt mondják, hogy Ugyanaz a folyadék ugyanazokból a kiindulási körülményekből kiindulva két (vagy több) nagyon különböző állapotba kerülhet. Ez így vagy úgy egészen másképp folyhat. Ha igen, akkor az egyenletek nem tükrözik megbízhatóan azt a fizikai világot, amelyre tervezték őket.

Robbanó egyenletek

Ahhoz, hogy lássuk, hogyan bukhatnak meg az egyenletek, először képzeljük el az óceán áramának áramlását. Bennük keresztező áramok sokasága lehet, amelyek egyes részei egy irányban mozognak egy sebességgel, mások pedig más irányba más sebességgel. Ezek az egymást keresztező áramok kölcsönhatásba lépnek egymással a súrlódás és a víznyomás folyamatosan fejlődő kölcsönös játékában, amely meghatározza az áramlás módját.

A matematikusok ezt a kölcsönös játékot egy térképpel modellezik, amely megadja nekünk az áram irányát és nagyságát a folyadék minden helyzetében. Ez a térkép, amelyet vektormezőnek nevezünk, pillanatkép a folyadék belső dinamikájáról. A Navier-Stokes-egyenletek elkészítik azt a pillanatfelvételt, és időben előre futtatják, így megmondják, milyen lesz az a vektormező minden következő pillanatban.

Az egyenletek működnek. Olyan megbízhatóan írják le a folyadékáramlást, mint Newton megjósolja a bolygók jövőbeli helyzetét; a fizikusok megállás nélkül használják őket, és újra és újra egyetértenek a kísérleti eredményekkel. A matematikusok azonban anekdotikus megerősítésnél többet akarnak: bizonyítékot akarnak arra, hogy az egyenletek sérthetetlenek, hogy nem mindegy, hogy melyik vektormezőből indulunk ki, és hogy nem számít, hogy milyen messzire indulunk a jövőbe. egyenletek mindig egyedi vektormezőt adnak nekünk.

Ez a megfelelő millenniumi probléma tárgya: azt kérdezi, hogy a Navier-Stokes egyenletek rendelkeznek-e megoldásokkal (ahol a megoldások lényegében vektormezők) az összes kiindulópontra és az idő minden pillanatára. Ezeknek a megoldásoknak meg kell adniuk az áram pontos irányát és nagyságát a folyadék minden pontján. Az ilyen végtelenül nagy felbontású információkat szolgáltató megoldásokat "sima" vagy "sima" nevezzük. Sima megoldás esetén a mező minden pontjának van egy társított vektora, amely lehetővé teszi számunkra, hogy "simán" haladjunk a mezőn keresztül anélkül, hogy valaha is elakadnánk egy olyan ponton, amelyben nincs vektor, egy olyan pontban, ahol nem tudjuk, merre kell menni következő.

A sima megoldások a fizikai világ teljes ábrázolását jelentik, de matematikailag nem mindig léteznek. Matematikusok, akik olyan egyenletekkel dolgoznak, mint például Navier-Stokes, aggódnak az ilyen típusú helyzetek miatt: a Navier-Stokes-egyenletek mozgásba lépnek, és megfigyelhető, hogy egy vektormező megváltozik, de véges idő elteltével az egyenletek azt mondják, hogy egy részecske a folyadék végtelenül gyorsan mozog. Ez egy probléma. Az egyenletek feltételezik az olyan tulajdonságok változásának mérését, mint a nyomás, a súrlódás és a folyadék sebessége (zsargonban ezeknek a mennyiségeknek a "származékait" veszik), de nem lehet végtelen értékű származékot levezetni annál, osztódik nullával. Tehát, ha az egyenletek végtelen értéket produkálnak, akkor azt mondhatjuk, hogy az egyenletek kudarcot vallottak, vagy "felrobbantak". Már nem írják le folyadékunk későbbi állapotait.

Az, hogy felrobbannak, szintén erősen jelzi, hogy egyenleteinkből hiányzik valami, ami megfelel annak a fizikai világnak, amelyet állítólag leírnak. "Talán az egyenlet nem ragadja meg a valódi folyadék összes hatását, mert egy valós folyadékban nem számítunk arra, hogy" a részecskék valaha is végtelen sebességgel mozoghatnak "- mondja Buckmaster.

A millenniumi probléma megoldásához be kell mutatnia, hogy a Navier-Stokes-egyenletek soha nem robbannak fel, és nem találják meg azokat a körülményeket, amelyekben megtörténnek. A matematikusok egyik stratégiája az volt, hogy először ellazítsák azt a pontosságot, amellyel az egyenletek szükségesek a valóság leírására.

Gyengétől lágyig

Amikor a matematikusok olyan egyenleteket tanulmányoznak, mint Navier-Stokes, néha azzal kezdik, hogy kibővítik a megoldásnak számító definíciót. A puha megoldások maximális információt igényelnek: Navier-Stokes esetében megkövetelik, hogy egy vektor jelen legyen a folyadékhoz társított vektormező minden pontján. De mi van akkor, ha a követelményeket lazítják és megállapítják, hogy csak egy vektor számításához szükséges néhány pont, vagy elegendő hozzávetőleges vektorok megszerzése? Az ilyen típusú megoldásokat "gyengének" nevezik. A matematikusok így képet kaphatnak az egyenlet viselkedéséről anélkül, hogy a sima megoldások megtalálásának minden munkáját végig kellene vinniük (ami a gyakorlatban lehetetlen lehet).

"Bizonyos szempontból a gyenge megoldásokat még könnyebb leírni, mint a valódi megoldásokat, mert sokkal kevesebbet kell tudni" - mondja Camillo De Lellis, Székelyhidi Lászlóval társszerzője számos fontos cikknek, amely megalapozta Buckmaster munkáját. és Vicol.

A gyenge megoldások gyengeségi fokozatai vannak. Ha a sima megoldást végtelen nagy felbontású folyadék matematikai képének tekintjük, akkor a gyenge megoldások olyanok lesznek, mint a kép 32, 16 vagy 8 bites verziója (attól függően, hogy milyen gyengék lehetnek).

1934-ben Jean Leray francia matematikus meghatározta a gyenge megoldások fontos osztályát. Ahelyett, hogy pontos vektorokkal dolgozna, a "Leray-megoldások" a vektorok átlagértékét veszik a vektormezőn belüli kis szomszédságokban. Leray bebizonyította, hogy mindig lehetséges megoldani a Navier-Stokes-egyenleteket, ha a megoldások megengedik az adott formát. Más szavakkal, Leray megoldásai soha nem robbannak fel.

Leray eredménye új megközelítést hozott létre a Navier-Stokes problémával szemben: kezdje Leray megoldásaival, amelyekről köztudottan mindig is létezik, és nézze meg, hogy át tudja-e alakítani azokat puha megoldásokká, amelyek be akarják bizonyítani, hogy mindig léteznek. Ez egy olyan folyamat, amely hasonló ahhoz, hogy durva képpel kezdjük, és megnézzük, hogy képes-e finomhangolni a felbontást és tökéletes képet kapni valamiről.

"Az egyik lehetséges stratégia az lenne, ha megmutatnánk, hogy ezek a gyenge Leray-megoldások puhák, és ha azt mutatják, hogy puhák, akkor megoldotta a millenniumi problémát" - mondja Buckmaster.

Van még egy fogás. A Navier-Stokes-egyenletek megoldásai megfelelnek a valós fizikai eseményeknek, a fizikai események pedig egyetlen módon fordulnak elő. Mivel ez így van, akkor azt akarja, hogy az egyenletek egyetlen megoldáshalmazgal rendelkezzenek. Ha az egyenletek több lehetséges megoldást adnak, akkor kudarcot vallanak.

Ezért a matematikusok csak akkor használhatják Leray megoldásait az ezredforduló problémájának megoldására, ha Leray megoldásai egyedülállóak. Az, hogy Leray megoldásai nem voltak egyediek, azt jelentené, hogy a Navier-Stokes-szabályok szerint pontosan ugyanaz a folyadék, pontosan ugyanazokkal a kiindulási feltételekkel, két különböző fizikai állapotba kerülhet, aminek nincs fizikai értelme, és mi következne, ha az egyenletek nem valójában nem írja le azt, amit le kellene írnia.

A Buckmaster és Vicol új eredménye elsőként jelzi, hogy bizonyos gyenge megoldási definíciók esetén ez történhet.

Az új cikkben Buckmaster és Vicol a Lerayénél is gyengébb megoldásokat vették figyelembe: ugyanazon az átlagolási elven alapulnak, mint Lerayénél, de enyhítenek egy további követelményt (az úgynevezett energiaegyenlőtlenséget). A domború integráció néven ismert módszert alkalmazzák, amelynek eredete John Nash matematikus geometriájáról szóló munkájában kezdődött, és amely De Lellis és Székelyhidi nemrégiben a folyadékok tanulmányozásához vezetett.

Ezt a megközelítést alkalmazva Buckmaster és Vicol azt mutatják, hogy a Navier-Stokes egyenletek ezen nagyon gyenge megoldásai nem egyedülállóak. Például azt mutatják, hogy ha teljesen nyugodt folyadékkal indul, például egy pohár víz nyugodtan ül az ágy mellett, kétféle helyzet állhat elő. Az első nyilvánvaló: a víz nyugodtan kezdődik, és a nyugalom örökké tart. A második fantasztikus, de matematikailag megengedett: a víz nyugodtan indul, az éjszaka közepén kitör, és nyugodtan visszatér.

"Ez azt mutatja, hogy nincs egyediség, mivel a kezdeti nulladatokból legalább két objektum felépíthető" - mondja Nicol.

Buckmaster és Vicol a Navier-Stokes-egyenletek sok nem egyedülálló gyenge megoldásának létezését bizonyítja (nemcsak a fent leírt kettőt). Ennek az eredménynek a relevanciája még várat magára. Egy bizonyos ponton a gyenge megoldások annyira gyengévé válhatnak, hogy azok már nem igazán relevánsak az általuk utánozni kívánt lágyabb megoldások szempontjából. Ha igen, akkor a Buckmaster és Vicol eredménye nem biztos, hogy túl messzire megy.

'Ennek eredménye minden bizonnyal figyelmeztetés, de vitatható, hogy figyelmeztetés a gyenge megoldás gyengébb fogalmára. Számos olyan réteg van [erősebb megoldásokból], amelyekben még mindig sokkal jobb teljesítményre lehet számítani ”a Navier-Stokes-egyenletek szerint - mondja De Llelis.

Buckmaster és Vicol szintén rétegekben gondolkodnak, és Leray megoldásait tűzték ki célul, bizonyítva, hogy ezek is lehetővé teszik több olyan pálya fizikáját, amelyekben ugyanaz a folyadék ugyanabból a helyzetből több mint egy jövőbeli formát is felvehet.

- Tristan és én úgy gondoljuk, hogy Leray megoldásai nem egyedülállóak. Még nem mutattuk meg, de munkánk megalapozza a probléma kezelését. ”- mondja Vicol.

Kevin Hartnett/Quanta magazin