Égi dinamika

Tevékenységek

mozgása

Ezen az oldalon egy mesterséges műhold lefelé irányuló mozgását tanulmányozzuk, amelyet a Föld körüli magasságban keringő pályára állítottak. h felülete felett. Feltételezzük, hogy a Földet egyenletes sűrűségű gázréteg képezi, amelynek külső sugara nagyobb, mint a műhold pályája, így a műholdra kifejtett súrlódási erő állandó.

Valójában a légkör több rétegből áll, amelyeket a hőmérséklet függőleges változása szerint határoznak meg:

  • a troposzféra, a hőmérséklet a magassággal csökken, 100 m-enként 0,6єC sebességgel.
  • a sztratoszférában a hőmérséklet gyakorlatilag állandó marad
  • a mezoszféra, a hőmérséklet növekszik, majd csökken
  • a termoszféra, a hőmérséklet a magassággal rendszeresen emelkedik.

A légkört általában rétegekre osztják a kémiai összetétel szerint:

  • a homoszféra (100 km-ig), a levegő fő alkotóelemei (oxigén és nitrogén) állandó arányban maradnak.
  • a heteroszféra (100 km-től 1000 km-ig), a könnyű gázok vannak túlsúlyban, hidrogén, nitrogén, hélium.
  • az exoszféra (1000 km-től) a legkönnyebb molekulák a világ vonzáskörzetébe menekülve leküzdik a Föld vonzerőjét.

A Statisztikai fizika és termodinamika fejezetben egy bolygó atmoszférájának egyszerű modelljét tanulmányozzuk, a nyomás és a sűrűség a magasság mellett exponenciálisan csökken, feltételezve, hogy a hőmérséklet állandó marad.

A műhold súrlódási ereje általában annak alakjától, a levegő sűrűségétől és a műhold sebességétől függ, így a mozgásegyenlet meglehetősen bonyolult lesz. Ezen az oldalon néhány közelítést fogunk tenni, amelyek lehetővé teszik számunkra, hogy egyszerű módon leírjuk a műhold mozgását.

Körpálya

Vegyünk egy mesterséges műholdat, amely kör alakú pályát ír le a Föld körül sugárral R. Az egyenletes körmozgás dinamikájának egyenletét alkalmazva:

hol G= 6,67 10 -11 Nm 2/kg 2, és M= 5,98 · 10 24 kg a Föld tömege és sugara 6370 km.

Amint az ábrán láthatjuk, amikor a műhold kör alakú pályát ír le, a sebesség merőleges a sugárirányra vagy a vonzerő irányára.

Mivel a vonzerő konzervatív, a mesterséges műhold energiája állandó az általa leírt kerület minden pontján.

Teljes energia ÉS a potenciális energia fele, és negatív.

Leeső mozgás a Föld felé

Amikor a mesterséges műhold a Föld felé esik, akkor spirál. Az a szög, amelyet a sebesség a radiális iránygal alkot, már nem 90 °, hanem 90 ° szög-φ kicsit kisebb. Más szavakkal, a sebesség iránya kissé a helyi vízszintes irány alatt van. A normál irány (merőleges a sebesség irányára) már nem esik egybe a sugárirányával, hanem szöget képez φ.

Az ábrán a műhold erői akkor láthatók, ha az távolabb van r a Föld közepétől.

  • A vonzás ereje F
  • Súrlódási erő Fr hogy állandónak és a sebességgel ellentétesnek fogjuk fel.

Megbontjuk az erőt F a sebesség irányában (érintőleges) és a sebességre merőleges irányban (normál).

A tangenciális és a normál irányú mozgásegyenletek:

  • az első elmondja, hogyan változik a sebességmodul v idővel a műholdról.
  • a második, hogyan változik a sebesség iránya

Hol rc az út görbületi sugara, a sugártól eltérő érték r a Föld középpontjában álló körút.

Numerikus megoldás

max =-FKötözősaláta θ +FrSen ( θ + φ )
lehet =-FSen θ -FrCos ( θ + φ )

A két mozgásegyenlet átalakul két másodrendű differenciálegyenlet rendszerévé, amelyeket numerikus eljárásokkal oldunk meg a kezdeti feltételekkel t = 0, x = R, y = 0, vx = 0, vy = v0. Hol v0 a mesterséges műhold sebessége, amikor egy kezdeti kör sugárpályát ír le R.

Közelítések

Néhány közelítést megadva, egyszerű módon leírhatjuk a mesterséges műhold mozgásegyenletét.

Ha feltételezzük, hogy a szög φ kicsi, ezért a sebességkomponens v a helyi vízszintes mentén van vH=vKötözősalátaφ≈v, és hogy a sugárirányú komponens vR kicsi, tehát

olyan lenne, mint egy műhold, amely kör alakú sugárpályát ír le r sebességgel vH=vKötözősalátaφ

Egyszerűsítő m Y r majd sodródik a tekintetben r nekünk kell

A tangenciális gyorsulás a láncszabály használatával érvényes

Ez utóbbi két egyenletből jutunk el

Ezzel a közelítéssel a mozgás tangenciális irányú egyenlete

Az a szög, amelyet a sebességvektor alkot a helyi vízszintessel

A következő paradox következtetésre jutunk

A súrlódási erő növeli a modulust v a műhold sebességének. Valójában ez a két erő (vonzás és súrlódás) eredménye, amelynek van egy komponense a műhold sebességének irányában, amint az könnyen látható az ezen az oldalon található diagramokból.

Azok az egyenletek, amelyek lehetővé teszik a mobil helyzetének megszerzését polárkoordinátákban (r,) az idő függvényében t vannak:

Hol v0 a mesterséges műhold sebessége a kezdeti kör sugárpályán R, ami a kezdeti pillanatban leírja t= 0.

Az előző szakaszban kiszámítottuk a mesterséges műhold kezdeti energiáját. A végső energia, feltételezve, hogy a mesterséges műhold csaknem kör alakú sugárpályát ír le r sebességgel v, lesz

A különbség a mesterséges műhold atmoszférával való súrlódása miatt elvesztett energia

Tevékenységek

Az interaktív program célja nem a mesterséges műhold helyzetének és sebességének kiszámítása, hanem a pályájának spirális alakban történő megjelenítése, ahogy a sebesség csökkenés közben növekszik.

A műhold magassága km-ben, a Föld felszíne felett, mozgatva az ujját a gördítősávon Magasság.

A hányados Fr/m súrlódási erő Fr a tésztához m a műhold úgy, hogy mozgatja az ujját a görgetősávon Súrlódás.

Nyomja meg a címet Indul.

A műhold mozgása a Föld körül megfigyelhető, amíg össze nem ütközik a felszínével, egy kék kör jelenti a kezdeti körpályát.

Az adatokat óránként, a sebességet m/s-ban és a magasságot km-ben adjuk meg a Föld felszínén.

A bal oldalon az energiaváltozásokat színes sávok képviselik:

  • kék, pozitív mozgási energiával
  • vörösben a negatív potenciális energia
  • világos színű vonal jelzi az összenergiát ÉS, tömegegységre vonatkoztatva m, amelynek értéke millió J/kg-ban van feltüntetve.
  • Egy fekete sáv jelzi a kezdeti és a végső energia különbségét, vagy a súrlódás miatti energiaveszteséget, amikor a műhold a Föld felszíne felé esik.

Beírjuk az adatokat

Magasság h= 5000 km

Kiszámoljuk a sebesség iránya által kialakított szöget a helyi vízszintessel

Hivatkozások

Mills B. D. . Műholdas paradoxon. Am. J. Phys. 27, 1959, pp. 115-117

Arons. NAK NEK. A forgó korcsolyázó és a bomló műhold pályájának F = ma elemzése. A fizikatanár 37, 1999. március, pp. 154-160