modell

В
В 		В

Testreszabott szolgáltatások

Cikk

  • Spanyol (pdf)
  • Cikk XML-ben
  • Cikk hivatkozások
  • Hogyan lehet idézni ezt a cikket
  • Automatikus fordítás
  • Cikk küldése e-mailben

Mutatók

  • Idézi SciELO
  • Hozzáférés

Kapcsolódó linkek

  • Hasonló a SciELO-ban

Részvény

Act Nova

verzióВ on-line ISSN 1683-0789

RevActaNova.В 3. kötet, 1. szám, Cochabamba, 2005. december

Tudományos cikk

Labdarúgás és matematika: Monte-Carlo szimulációs modell *

Eduardo Piza Volio

Tiszta és alkalmazott matematika kutatóközpont (CIMPA)
Costa Rica Egyetem, Irányítószám 2060, Costa Rica.
e-mail: [email protected]

1. Bemutatkozás

Először megemlítjük, hogy a Costa Rica-i környezetben nagy motiváció volt az itt leírt modell kidolgozására és megvalósítására. Valóban, a foci a legnépszerűbb sport Costa Rica-ban: tömegsport, amelynek minden korosztályú, nemű és társadalmi helyzetű egyén rajong. Ezenkívül bizonyos időszakokban a foci iránti szenvedély a legfontosabb társadalmi erő az országban, olyan ütemben, ahogy a Costa Ricai-szigetek élete fejlődik, más kérdések mellett, mint a politika, a munka, az ország általános helyzete stb. Ugyanez a jelenség a világ számos más országában fordul elő, kisebb vagy nagyobb intenzitással.

A szerzőnek tapasztalata volt, hogy a jelenleginél sokkal primitívebb modellt dolgozott ki annak érdekében, hogy tanulmányozza a Costa Rica-i válogatott besorolásának valószínűségét a Soccer France legutóbbi 1998-as vb-jére [5].

2. Szimulációs modell

Másrészt Monte-Carlo szimulációs modellekben a jó véletlenszám-generátor algoritmus használata alapvető fontosságú, mivel ez képezi a véletlenszerű szimuláció szívét. Ebben a tekintetben el kell kerülni a "kongruenciális" vagy "ál-véletlenszerű" típusú generátorok használatát, amelyek általában a hagyományos programozási nyelvekkel rendelkeznek, mivel ezeknek a generátoroknak kis statisztikai torzításaik vannak, amelyek alkalmatlanná teszik őket egy tanulmány keretében. . Modellünk PASCAL-ban történő megvalósításakor egy Knuth által kifejlesztett és a Press et. hoz. (1990), amely Monte-Carlo szimulációs vizsgálatokban megfelelőnek bizonyult.

3. A modell adatai

Sean n a tornát játszó csapatok száma és k a rangsoroláshoz rendelkezésre álló helyek száma. Például a CONCACAF tornára, n = 6 és k = 3. A szimulációs program az alábbi információkat igényli:

A fentieken túl a szimulációs program bizonyos kiegészítő információkat igényel, amelyek a következők: a győzelem mellett elért pontok száma (foci esetén általában 3), a holtverseny mellett elért pontok száma (általában 1) és ha van vagy nincs büntetőpárbaj (nem, a CONCACAF esetében), ha döntetlen van. Ez a kiegészítő információ célja, hogy a modell bizonyos kisebb változtatásokkal más hasonló sportversenyeken is használható legyen.

4. A modell globális feltételezései

A szimulációt globális vagy általános hipotézisek alatt hajtják végre, amelyeket most felsorolunk:

1. Teljes információ hiányában (például a verseny kezdetén) annak valószínűsége, hogy egy meccs holtversenyben végződik, körülbelül 20,4%. Ezt a százalékot a történelem során a világméretű kvalifikációs labdarúgó-mérkőzések ezreinek eredményeinek statisztikai elemzéséből nyerték: a mérkőzések körülbelül 20,4% -a holtversenyben végződik, amint az az 1. ábrán látható.

2. Konkrét információk hiányában (például a verseny kezdetén) a mérkőzés szimulációja során minden csapatnak azonos esélye van a győzelemre, azaz körülbelül 39,8%.

3. Az egyes szimulált meccsek döntetlenje vagy győzelme esélye kissé dinamikusan változik, amint azt a következő szakasz elmagyarázza, az alkalmazott kritériumok által tapasztalt változásnak megfelelően.

4. A modell figyelembe veszi a tornán korábban lejátszott mérkőzések eredményeit, mivel ez az egyik legfontosabb paraméter a csapatok jelenlegi erősségében mutatkozó különbségek megállapítására.

10. A modell nem vesz figyelembe néhány olyan megdöbbentő tényt, amely a torna fejlesztése során felmerülhet, például a játékvezetői hibák által előidézett elfogultságokat, az edzőváltásokat, a fontos játékosok esetleges sérüléseit, a hívott részvételének elmaradását. "légiós játékosok" (akik más országok bajnokságában játszanak) stb. Ezeket a megdönthetetlen tényeket nehéz objektíven modellezni, mert a gyakorlatban való kivezethetetlenségükön kívül csak a sajátosságainkat ismerjük meg, mi történik preferenciáink felszerelésével, gyakran nem tudva, hogy mi az ellenfelünk nehézsége.

A szimulációs folyamatban tegyük fel a csapat arcát NAK NEK (hazai csapat) kontra csapat B (vendégcsapat) a dátum (vagy időpont) t. Ezután folytatjuk a valószínűségek kiszámítását pA(t), PE(t) Y PB(t) illetve, hogy A nyer, van döntetlen, vagy nyer B, hol pA(t)+PE(t)+PB(t) = 1. Világos, hogy elég kiszámolni pA(t) Y PE(t), mivel PB(t) különbséggel számolják. Ezek a valószínűségek dinamikusak vagy időfüggők t, vagy a játék lejátszásának dátuma. Az időváltozó közvetlenül kapcsolódik a mérkőzések ütemezésének sorrendjéhez, vagyis a versenynaptárhoz.

A szimulációk elején megbecsülik a döntetlen valószínűségét PE(t) 20.4 %, amely a statisztikai vizsgálatok szerint a döntetlenre végződő mérkőzések empirikus százaléka. A bajnokság előrehaladtával ez a valószínűség PE(t) a csapat közötti döntetlen NAK NEK a csapat ellen B Kiszámítása a következő képlet segítségével történik:

В • Nemp(t) a torna holtversenyben befejeződött mérkőzéseinek száma a dátum előtt t.

В • Ntot(t) a dátum előtt már lejátszott bajnokságok száma t.

Ily módon a valószínűség pE(t) a holtverseny között NAK NEK Y B megfelelően tükrözi a bajnokság eddigi holtversenyes eredményeinek trendjét, amelynek felső határa 25%, az alsó pedig 15%, az értékek 5% -os változást jelentenek az átlag felett és alatt. A valószínűség ezen maximális és minimális határának kiválasztásakor érzékenységi elemzést végeztek pE(t), bizonyítva a gyakorlatban, hogy ezeknek a megállóknak a változása nem gyakorol jelentős hatást a kapott eredményekre.

Bonyolultabb a valószínűségi becslés pA(t), hogy a hazai csapat a győztes NAK NEK. Röviden, pA(t) három fő tényező befolyásolja, nevezetesen: (én) a tény, hogy a NAK NEK a hazai csapat, ami szinte mindig előnyt jelent NAK NEK (sohasem hátrány); (ii) a csapat által eddig elért teljesítmény NAK NEK a tornán, a csapat által elért teljesítményhez képest B; (iii) a csapatok sporttörténete tükröződik a FIFA hivatalos rangsorában, amelyet a mérkőzés napján frissítettek.

Ezen fő tényezők mellett egy negyedik másodlagos tényező is beavatkozik - az úgynevezett "imponderability factor" -, amely néhány egyéb releváns információt tartalmaz az eredmény becsléséhez, például ha bármelyik csapat NAK NEK vagy B már besoroltak, vagy kiesnek, vagy ha bármelyikük győzelemmel kvalifikálódik, vagy vereséggel kiesik. A valószínűségszámításhoz használt végleges képlet pA(t) Ez a következő:

Miután kiszámolták a valószínűségeket PA(t), pE(t) Y PB (t), közötti mérkőzés végeredményének eldöntése érdekében a következőképpen járjon el NAK NEK Y B: véletlenszám jön létre egyenletes eloszlásban (0,1) -ben. Ha a létrehozott szám a (0, PA(t)), akkor a csapatot nyilvánítják győztesnek NAK NEK. Ha a létrehozott szám a [PA(t), PA(t) +pE(t)], akkor a játékot kötöttnek nyilvánítják. Végül, ha a létrehozott szám a [PA(t) + pE(t), 1), akkor a vendégcsapatot nyilvánítják győztesnek B.

7. Az esélyek és a mágikus pontok rangsorolása

A fent leírt szabályokat követve a szóban forgó bajnokság szimulációval fejeződik be, több milliószor megismételve ezt a folyamatot, ahányszor csak kívánja. Félmillió szimuláció több mint elegendő ilyen célokra, mivel a számított valószínűségek már nem változnak az első 3 tizedesjegy pontjukban.

Ezután kiszámoljuk, hogy hányszor vesz részt az egyes résztvevő csapatok a besorolásban. Azokban az esetekben, amikor a selejtező helyeken holtversenyek vannak, a FIFA által meghatározott döntetlenre vonatkozó szabályok alkalmazandók:én) döntetlen a gólkülönbségért; (ii) ha a döntetlen továbbra is fennáll, akkor a kapott gólok száma megtöri. A modellben, ha a döntetlen továbbra is fennáll, a véletlen felhasználásával választják ki a besorolást.

Ezenkívül kiszámításra kerül annak hányszorosa, hogy egy adott В - például Costa Rica - csapat megszerzi a besorolást egy bizonyos előre meghatározott pontszámmal egyenlő vagy annál nagyobb pontszámmal. Ilyen módon hívják pont táblázat mágikus (lásd az 5. ábrát), amelyek tükrözik annak valószínűségét, hogy a kérdéses csapatnak kvalifikálnia kell magát arra az esetre, ha sikerül egy bizonyos összpontszámot megszereznie a verseny végén.

8. Záró megjegyzések és néhány következtetés

Nem szabad megfeledkezni arról, hogy egy olyan sportág természetéből fakadóan, mint például a futball, amelyben véletlenszerű helyzetek vannak, valamint számos meggondolhatatlan tényező miatt, valószínűségi típusú matematikai modellek leíró érték annak a valóságnak prediktív érték. Meg kell érteni, hogy alapvetően ez a módszertan segíti a valóság leírását, az eddig rendelkezésre álló információk alapján, valószínűség formájában eredményeket kínálva. De nyilván lehetetlen pontosan megjósolni a jövőt, különösen egy olyan véletlenszerű sportágban, mint a futball. Hasonlítsa össze például más sportágakban, például az úszásban, az atlétikában és a sakkban várható eredményekkel, amelyekben kevesebb meglepetés merül fel, mint a fociban.

A modell alacsony prediktív értéke olyan szempont, amelyet a sportsajtó nem mindig értett jól, ami széles körű lefedettséget adott az ezzel a modellel végzett számításoknak. Például egy alkalommal megjelent egy cikk az egyik legelterjedtebb újságban, nagyon jól előkészítve annak teljes tartalmában, kivéve a cikk címét, amely nagy betűkkel így hangzott: "Matematikus megjósolja válogatásunk besorolását!".

Ami a matematikai modellt illeti, egyes szempontokat más módon lehetne megkérdőjelezni és modellezni. A modell kidolgozása során olyan politikát követtek, amely egy kis működési hipotézisek vagy a valószínűségeket befolyásoló tényezők felállításával próbálta meg a modellt a lehető legegyszerűbben tartani. Ez a módszertan olyan alapot nyújt, amelyből további lehetséges tanulmányok kidolgozhatók, a hipotézisek néhány variációjával.

* Cikk a IX. Bolíviai matematikai kongresszuson, Potosí-Bolívia, 2002. november

1 Alternatív megoldásként más rangsor is használható, például a "World Football Elo Ratings" [3]. Bár a FIFA besorolását széles körben kritizálták, mégis a legismertebb.

Hivatkozások

[3] A Football Elo értékelései, www.eloratings.net. 2002.

[4] W. Press; B. Flanery; S. Teukolsky és W. Vetterling. Numerikus receptek: A tudományos számítástechnika művészete. Cambridge University Press, Cambridge., 1990. [Linkek]

[5] Eduardo Piza V. Szimuláció és foci. A tudományokra alkalmazott matematikai módszerek XI. Nemzetközi Szimpóziumának emlékiratai, pp. 145-155. Közös szerkesztőségi UCR-ITCR, Santa Clara, Costa Rica.

[6] Eduardo Piza V. A futballverseny eredményeinek szimulációs modellje. CIEMI Magazine, 8. évfolyam, 32. évfolyam, 33–44. Oldal, San Jose.

В A folyóirat minden tartalma, kivéve, ha azonosítják, a Creative Commons Licenc alatt áll