De menjünk részenként. Az axiómák megadására számos szabály vonatkozik. Először: az axiómáknak a lehető legkevesebbnek kell lenniük. Másodszor: lehetetlen levonni belőlük két, egymásnak ellentmondó következtetést.

elérhetetlen

Bármely iskola matematikai kézikönyvében már elkezdjük megtanulni az első axiómákat. A legismertebb kétségtelenül az, hogy "két ponton keresztül csak egy vonal húzható", vagy "az összesítés a részek összege". A matematika tehát öröm, mert a tudás más tudományágaitól eltérően velük úgy tűnik, hogy eljuthatunk abszolút igazságokhoz, az igazság bölcsességéhez.

De a valóság nem olyan szép. Hosszú évekig azt hitték, hogy csak Euklidész axiómái jelentik a következetes geometriát. Az egyetlen igazság, amelyhez ragaszkodhattunk De a 19. században bebizonyosodott, hogy az Euklidész axiómáinak bizonyos módon történő módosításával különböző és következetes geometriák alkothatók. Ettől a pillanattól kezdve az emberek már nem tudták, melyik geometria igaz.

Talán nem az a kérdés, hogy mi igaz, hanem mi a hasznos. Mivel sok axióma halmaz áll rendelkezésre, amelyekből következetes matematikai rendszerek származhatnak, és mindegyik különbözik egymástól. Ez ellentmond az axiómákra vonatkozó egyik szabálynak: hogy nem mondhatnak ellent egymásnak.

De képzelje el a következő állítást: "Az általam tett kijelentés hamis".

Ha hamis, akkor hamis, hogy valami hamisat mondok, és bizonyára igazat is mondok. De ha valami igazat mondok, akkor igaz, hogy hamisat mondok, és igaz, hogy hamisat mondok. És így tovább a végtelenségig. Logikailag lehetetlen megmutatni, hogy az állításom vagy nem, vagy sem.

Egy másik, ugyanolyan jellemzőkkel rendelkező kijelentést mondott Szókratész:Csak tudom, hogy nem tudok semmit".

Azt gondolja, hogy az ilyen típusú kifejezések trükkösek, és hogy a valóság nem így viselkedik.

1931-ben az osztrák matematikus Kurt Gödel, mindössze 25 éves korában megjelent egy cikket Formálisan eldönthetetlen javaslatokról a Principia Mathematica és a kapcsolódó rendszerekben. Ott megmutatta, hogy az axiómák bármely halmaza esetében mindig lehet olyan kijelentéseket tenni, amelyeket ezen axiómák alapján nem lehet bizonyítani, vagy hogy ilyenek, vagy hogy nem ilyenek. Ebben az értelemben lehetetlen valaha kidolgozni az axiómák halmazát, amelyekből egy teljes matematikai rendszer levezethető.

Ne félj. Ez nem azt jelenti, hogy soha nem juthatunk el az igazsághoz. Ez azt jelenti, hogy a matematikai rendszer addig lesz hasznos számunkra, amíg nem használjuk azt a határain túl. Gödel felfedezte előttünk, hogy az igazság magasabb kategória, mint a bizonyíthatóság. És másrészt a Gödel tétele csak a matematikában használt deduktív rendszerekre vonatkozik. Ez azt mutatja számunkra, hogy a legtökéletesebb matematikai rendszer, amelyet véges számú axióma és következtetési szabály mellett el tudunk érni, elvileg képtelen bizonyítani azoknak az állításoknak az igazságát/valótlanságát, amelyeket a rendszeren kívülről könnyen láthatunk.

De szerencsére a dedukció nem az egyetlen módja az igazság kiderítésének.