Oszcillációk
Tevékenységek
Egy ellipszis hossza.
A Merev szilárd fejezetben egy összetett inga kis rezgéseit vizsgáltuk. Ezen az oldalon egy inga általános viselkedését fogjuk tanulmányozni, kis és nagy amplitúdók esetén, és még akkor is, amikor az inga megfordul.
Az összetett inga viselkedését leíró differenciálegyenlet
(1)
Amikor a q szög kicsi, akkor sin q »q . Az inga egy M.A.S. kinek az időszaka P0 van
Az inga periódusa
Tegyük fel, hogy az inga stabil egyensúlyi helyzetben van, és energiával látjuk el ÉS.
Az inga kezdeti w 0. sebességet kap. Ahogy mozog egy q szöget, a forgási mozgási energia potenciál energiává alakul át, amíg el nem éri a q 0 maximális eltérést, amikor w = 0. Ezután az inverz folyamatot hajtjuk végre, a potenciális energiát átalakítjuk forgási kinetikai energiává, amíg újra át nem megy a q egyensúlyi helyzeten =0, az összes potenciális energiát kinetikussá alakították, az inga szögsebessége lesz - w 0. Ezután az inga ismét eléri maximális lehajlását - mit 0, végül visszatér a stabil egyensúlyi helyzetbe, befejezve az oszcillációt.
Amikor az inga eléri a w = 0 legnagyobb eltérést, és E = mgb(1-cos q 0)
Az idő letisztítása dt a differenciálegyenletben
Amikor az inga eléri a q maximális lehajlást = q 0 Vagy ha j = p/2, akkor az időszak negyedét használta fel P teljes lendülettel.
A kifejezés P egy rezgésről megírhatjuk
hol P0 a kis amplitúdójú rezgések időszaka.
Az integrált első típusú teljes elliptikának nevezzük. Az ezt követő interaktív program kiszámítja a hányadost P/P0 amikor bevezetjük az amplitúdót θ0 rezgés. A számítás a Carlson-eljáráson alapszik az első megnevezett elliptikus integrál megkeresésére RF (x, y, z). Megy Numerikus receptek C-ben, Speciális funkciók. 6. fejezet
Program az inga periódusának kiszámításához bármilyen amplitúdóra
Soros fejlesztés
Sorozatosan fejlesztjük az elliptikus integrál nevezőjét
Az integrál lesz
Az integrálok megoldásához a következő trigonometrikus összefüggéseket használjuk:
A periódus soros fejlődése P van
(két)
Ha az amplitúdó kicsi, írhatunk
és az időszak kb
Ez az első közelítés az inga periódusának képletéhez
A végső következtetés az, hogy az időszak P a q amplitúdóval növekszik 0. Míg az időszak PA 0 független az amplitúdótól, mindaddig, amíg az amplitúdó nem túl nagy, és a sin q »q közelítés alkalmazható .
Hozzávetőleges képletek az inga periódusához
Bármely amplitúdóhoz számos közelítő képlet ismert az inga periódusára, amelyek összehasonlíthatók a pontos kifejezéssel
A grafikus ábrázolás megfelel a rózsaszín görbének, amely a legjobban megközelíti a vörös görbét.
A grafikus ábrázolás megfelel a fekete görbének, amely valamivel jobb, mint az előző a piros görbének.
A grafikus ábrázolás megfelel a zöld színgörbének, amely a legjobban megközelíti a vörös színgörbét.
Potenciális energiagörbe
Amint ebben a fejezetben már láthattuk, a potenciális energiagörbék kvalitatív információkkal szolgálnak a fizikai rendszer viselkedéséről.
Az inga potenciális energiája az ÉSp =mgb(1-cos q). Az inga maximális potenciális energiája 2mgb, amikor fordított helyzetben van. Az applet jobb felső részében képviseljük a potenciális energia hányadosát ÉSp a maximális teljesítményenergia között, a q szög, vagyis a függvény függvényében
Ezekben az egységekben a maximális potenciális energia egység q-ra = p, amikor az inga megfordul (instabil egyensúlyi helyzet), és a q minimuma (nulla) =0, stabil egyensúlyi helyzet.
Ebben a diagramban fekete vonallal ábrázoljuk a teljes energiát ÉS, a potenciális energia és a mozgási energia összege. A vörös szín függőleges szegmense jelzi az inga potenciálenergiáját a q helyzetben , és egy kék színű szegmens az inga mozgási energiája abban a helyzetben. Az összes, a mozgási és a potenciális energia értékét elosztottuk a maximális potenciális energiával 2mgb.
Az energia megőrzésének elve kimondja, hogy a mozgási energia és a potenciális energia összege állandó. Tehát a mozgási energia akkor maximális, ha a potenciális energia minimális (amikor az inga áthalad a stabil egyensúlyi helyzeten), és a mozgási energia minimális (nulla), amikor az inga eléri a maximális elhajlást.
A fázisdiagramon ábrázoljuk a w szögsebességet (vagy az I0 szögetW ) a q szögeltolódás függvényében .
Ha egy fizikai rendszer mozgása periodikus, akkor a teljes ciklus után a rendszer visszatér ugyanabba az állapotba. Pályájának reprezentációja a fázistérben zárt görbe.
Ennek az útnak az egyenletének megszerzéséhez elég megírni az energia megőrzésének elvét
Adott teljes energiához ÉS, ez az egyenlet a w szögsebességet viszonyítja a q szögeltolódáshoz .
Megfigyeljük, hogy a fázistér pályája szimmetrikus a w (a szögsebesség) függőleges tengelyével szemben. Ez a szimmetria azt jelenti, hogy az inga mozgása megegyezik az óramutató járásával megegyező irányba. Két eset fordulhat elő:
Oszcillációk
Hogy a teljes energia ÉS az inga értéke kisebb, mint az energia teljesítményének maximális értéke (ÉS mit 0 és - q 0.
Ezt az amplitúdót kiszámíthatjuk w betétével = 0 az energia megőrzésének elvén.
ÉS= 2mgb(1-cos mit 0)
Példa: be és= 0,5 (energia a maximális potenciális energia egységeiben), majd q 0 = p/2 = 90є. Igen és= 0,1, majd q 0 =36,9є
Ha az amplitúdó kicsi, az inga egyszerű harmonikus mozgást ír le, és a fázistér pályája megközelíti az ellipszist.
Ennek az utolsó kifejezésnek a nevezői adják meg az ellipszis féltengelyeinek négyzetét. A vízszintes féltengely (maximális amplitúdó) az
Az energia növekedésével a fázistér pályája eltér az ellipszis alakjától, és az oszcilláció már nem harmonikus. Mivel az inga sokkal több időt tölt a legnagyobb eltérése közelében, mint 0, a pálya a fázistérben a bal és a jobb végén élesebbé válik, felül és alul laposabb.
Forgások
Amikor a teljes energia ÉS az inga értéke nagyobb, mint a potenciális energia maximális értéke (ÉS> 2mgb) O kút (és> 1), az inga teljes fordulatot tesz.
A forgási mozgás nem egyenletes, a sebesség akkor maximális, ha áthalad a stabil egyensúlyi helyzeten, és a legkisebb, ha áthalad az invertált inga helyzetén. Az inga szöghelyzete folyamatosan növekszik, és a szögsebesség mindig pozitív (ha a forgás az óramutató járásával ellentétes irányú).
Az inga ugyanazt a mozgást ismételje meg, amikor q szöghelyzete 2 p-vel, 4 p-vel stb. Növekszik. Ennek a mozgásnak a fázistérben történő leírására elegendő figyelembe venni az említett tér - p és p közötti részét. Az inga helyzetét és szögsebességét a fázistérben mutató pont jobbról hagyja el ezt a régiót, balról lép be.
Inga periódus
Az energia megmaradásának egyenletéből megoldjuk a szögsebességet ω inga
Az az idő, amely alatt az inga mozog a pozíciók között θ Y θ+dθ van
A kifejezés P van
Az alábbi kisalkalmazás kiszámítja a hányadost P/P0 amikor az energia bevezetésre kerül és> 1 az inga, megoldva a Simpson numerikus eljárása által meghatározott integrált.
Elválasztó út
Amikor az inga teljes energiája ÉS= 2mgb, (és= 1) határesetben vagyunk. A fázistér reprezentatív pontjának pályáját pirossal jelölik az applet jobb alsó részén, és elválasztónak nevezik.
felrakás ÉS= 2mgb Az energia megőrzésének elvében megkapjuk a szeparatrix egyenletét
A szeparatrix olyan szakaszokra osztja a fázisteret, amelyek két különböző mozgástípusnak felelnek meg.
Amikor az inga eléri a q = - p vagy q helyzetet = p, szögsebessége w =0, az inga instabil egyensúlyi állapotban van, az úgynevezett fordított helyzetben. Az egyik vagy a másik irányú kis elmozdulás miatt az inga p-hez nagyon közeli amplitúdóval ingadozik. És egy kis lökéssel a forgási mozgást írja le. Az inga, amint azt a következő táblázatban láthatjuk, sok időt tölt a fordított helyzet szomszédságában, és P periódusa végtelen lesz az energia számára ÉS= 2mgb (és= 1).
| Szög | Időszak P/P0 |
| 179 | 3.91 |
| 179,5 | 4.34 |
| 179.9 | 5.36 |
| 179.99 | 6.41 |
Tevékenységek
A teljes energia értéke beírásra kerül és című szerkesztési vezérlőben Energia. Ez az érték az inga teljes energiájának hányadosa ÉS és a maximális potenciális energia 2mgb.
Nyomja meg a címet Indul.
A reprezentatív pont mozgását a fázisok térében és az általa leírt pálya alakjában figyeljük meg.
Az applet jobb felső részén láthatjuk, hogyan változik a mozgási energia (vastag kék vonal) és a potenciális energia (piros) az inga q helyzetével.
Hivatkozások
Butikov. E. A merev inga - antik, de örökzöld fizikai modell. Eur. J. Phys. 20 (1999) pp. 429-441.
Molina M. I., Az egyszerű inga egyszerű amplifikációja bármilyen amplitúdóra. The Physics Teacher, 35. évfolyam, 1997. november, pp. 489-490
Gyerek R. B. Fogg S. L., Egyszerű képlet a nagy látószögű inga periódusra. The Physics Teacher 40. évfolyam, 2002. február, pp. 81-83
Köles L. E., A nagy látószögű inga periódus. The Physics Teacher, 41. évfolyam, 2003. március, pp. 162-163
Lima F.M. S., Arun P., Pontos képlet a kis szögű rezsimen túli egyszerű lengő periódusára. Am. J. Phys. 74 (10), 2006. október, pp. 892-895.
Puig Adam P., Integrálszámítás. Szerkesztőségi Biblioteca Matemбtica 1972, 97. oldal
Egy ellipszis hossza.
Az ellipszist féltengelye jellemzi nak nek és félig kisebb tengelye b.
Az ellipszis egyenlete az
A görbe kis ívének hossza,
Az ellipszis kerületének hossza négyszerese az ellipszis negyedének egy részén.
A változó megváltoztatása x = asenθ, dx = akötözősalátaθ · dθ
Hol és az ellipszis excentricitásának nevezzük. Ezt az integrált nevezzük a második fajta teljes elliptikus integrálnak.
c a gyújtótávolság
Az ellipszis hosszának hozzávetőleges képlete:
Az interaktív programban a féltengelyek értékeit adjuk meg alább nak nek Y b az ellipszis és a program megadja nekünk a hosszát L az ellipszis.
Tevékenységek
Az ellipszis féltengelyes tengelye, amely a görgetősávra hat Félvezető szak a.
Az ellipszis fél-moll tengelye a gördítősávon hat Félig kisebb tengely b.
Nyomja meg a címet Kiszámítja
A félig kisebb tengely b kisebbnek vagy egyenlőnek kell lennie a félig fő tengellyel nak nek, különben a program nem folytatódik.
Hasonlítsa össze a program által elért eredményt, amely egy olyan rutint használ, amely kiszámítja a második típusú teljes elliptikus integrált, a szakasz végén említett hozzávetőleges képlettel.
Forráskód.
Az első és a második faj elliptikus integrálja
A kód Java nyelvéhez igazítva C nyelven Numerikus receptek C-ben, A tudományos számítástechnika. Speciális funkciók. 6. fejezet.