1 A bomlási ráták visszanyerésének elemzése a T-súlyozott agyképekben

bomlási

3 A bomlási ráták visszanyerésének elemzése a mágneses rezonancia T2-súlyozott agyképeiben Szerző: Rodney Jaramillo Justinico A matematikai tudományok doktora cím megszerzésének részleges követelményeként bemutatott munka Igazgató: Marianela Lentini Gil Kolumbiai Nemzeti Egyetem Medellín Campus Kar Tudomány matematika posztgraduális diploma 2014. június

4 Ezt a munkát a Kutatási Alelnöki Hivatal részben támogatta a Tudományos számítástechnikai csoport megerősítése című projekt révén, Hermes kód: 16084

5 Köszönetnyilvánítás Köszönetet mondok kollégáimnak és barátaimnak, a Matematikai és Statisztikai Iskolák tanárainak, akik biztató szavakat ajánlottak fel e projekt megvalósításához, különösképpen Carlos Mejíának, Marco Palusznynak, Hugo Arbeláeznek és Juan Carlos Salazarnak. mély köszönet Beatriz Correa-nak, akinek ragaszkodása nélkül nem folytattam volna doktori tanulmányaimat, nagyon különleges hála érzem tanácsadómat, Marianela Lentini professzort, odaadásáért és különösen tanításaiért, példájáért, bizalmáért és barátságáért., Köszönöm azoknak a feltétel nélküli szeretetét, akik alig várták, és néha a szeretett ember türelmetlenségével, ennek a tézisnek a befejezését: édesanyám Gladys, apám Ludoberto, feleségem Olga Rocío és gyermekeink, Samuel és Juana

9 Tartalom-jegyzék Absztrakt absztrakt Tartalom-jegyzék i ii iii Bevezetés 1 1 A Prony módszer változata 3 11 Prony típusú módszerek 3 12 A Prony módszer változata 5 2 Stabilitási elemzés Numerikus szimulációk 17 3 Szűrők a wavelet tartományban a zaj csökkentésére a mágneses rezonancia képalkotásban Szűrők megvalósítása a hullámtartományban a mágneses rezonancia képalkotáshoz Az adatok torzításának megszüntetése Rice eloszlást követően Új szűrő megvalósítása a hullámtartományban a mágneses rezonancia képalkotáshoz Formula a skála koefficienseihez szűrő algoritmus a mágneses rezonancia képek zajcsökkentéséhez Numerikus eredmények szintetikus képekről Következtetések és az eredmények megbeszélése 53 iii

10 Irodalomjegyzék 54 iv

13 1. fejezet A Prony módszer változata 11 Prony típusú módszerek A Prony típusú módszerek egy olyan családot alkotnak, amelyek lehetővé teszik többek között a kyi = b + C je iλ jtj = 1 egyenletrendszer által adott exponenciális kiigazítás megoldását. i = 1, n, Ha az (1) által megadott formulában b = C 0 és λ 0 = 0 van megadva, akkor az yi adatoknak meg kell felelniük a µ (ti) = µ (it) yi modellnek, ahol µ az adott függvény µ (t) = k C je λjt j = 0-val. Ezeket a módszereket, más néven polinomi módszereket, jellemzi, hogy µ (t) kielégíti a forma különbségegyenletét (δk + 2 E k δ 2 E + δ 1) µ (t) = 0, (2) ahol az E operátort (Eµ) (t) = µ (t + t) adja meg, és a β j = e λ jt értékek a P polinom gyökerei (z) = δ k + 2 zk δ 2 z + δ 1 = 0, (3) amely a (2) differenciálegyenlettel összefüggő jellegzetes polinom. A (2) kiértékelésekor ti = it, i = 1, nk Az 1. ábrán megkapjuk az δ k + 2 µ (t k + 2) + + δ 1 µ (t 1) = 0 δ k + 2 µ (tn) + + δ 1 µ egyenleteket (t n k 1) = 0 3

17 Ebben az esetben az α (z) polinom együtthatói a β 1 ​​, β k szimmetrikus függvényei, amelyeket w (k) 1 = β β kw (k) 2 = β l β rlrw (k) 3 = lr határoz meg., ls, srw (k) k 1 = (1) k β l β r β sk (k) β lj = 1 w (k) k = (1) k + 1 ljk β j, ezeket az együtthatókat oldatként számoljuk egyenletrendszer Végül a β j a j = 1 M (k) w (k) = Q (k) (12) α (k) (z) = zkkj = 1 w (k) jzkj polinom gyöke. (13) Az alábbiakban felsorolt ​​két tétel létrehozza az összefüggést, amely fennáll az imént leírt eljárással kapott megoldás és a 11. szakaszban leírt módosított Prony módszer között. 1. tétel Legyen R az alábbiakban meghatározott kk sorrendű mátrix: R = 1, ha k = 1, és k> 1 1 esetén, ha i = j, R (i, j) = 1, ha j = i + 1, 0, különben hagyja P (z) és α (k) (z) a (3) és (13) pontban meghatározott polinomok, ha δ = [δ 1, δ k + 1, 1] a (9) optimalizálási feladat megoldása, akkor a w (k ) = R 1 [δ k, δ 1] T kielégíti továbbá: M (k) w (k) Q (k) = XT δ és P (z) = (z 1) α (k) (z) Teszt Az oldat δ = A [9] közül [δ 1, δ k + 1, δ k + 2] kielégíti a δ k + 2 = 1 értéket. Abban az esetben, ha figyelembe vesszük, hogy β 0 = 1 a P (z) gyökere, amelyből az következik, hogy δ j = 1 k + 1 j = 17

18 Ezután M (k) w (k) Q (k) = M (k) R 1 Rw (k) Q (k) = M (k) R 1 δ ḳ y k + 1 és k + 2 δ 1 yn 1 yn = M (k) R1 δ ḳ 1 [k + 1 j = 1 δ j] és k + 1 yk + 2 [k + 1 j = 1 δ j] yn 1 yn = M (k) R 1 ḳ ḳ + yk + 1 és k + 1 δ ḳ + δ 1 yn 1 yn 1 δ 1 δ k + 2 és k + 2 yn + δ k + 1 és k + 1 yn 1 = δ k + 2 és k + 2 yn + δ k + 1 és k + 1 yn 1 + M (k) R1 δ ḳ + yk + 1 és k + 1 δ ḳ δ 1 yn 1 yn 1 δ 1 = δ k + 2 és k + 2 yn + δ k + 1 yk + 1 yn 1 + ykyk 1 y 1 yn 2 yn 1 ynk 1 δ ḳ δ 1 8

19 = y 1 és 2 és k + 2 és 2 és 3 és k + 3 és 3 és 4 és k + 4 ynk 1 ynkyn δ 1 δ 2 δ k + 1 δ k + 2 = W és δ A (6) egyenletből következik, hogy Most a P (z) polinomra P (z) = δ k + 2 zk δ 2 z + δ 1 ((k = (z 1) zk = (z 1) = (z 1) (( j = 1 M (k) w (k) Q (k) = XT δ y (k 1 δ j) zk 1 j = 1 δ j) zk 2 (δ 1 + δ 2) z δ 1) zkw (k) 1 zk 1 w (k) 2 zk 2 w (k) k 1 zw (k) kzk = (z 1) α (k) (z) kj = 1 w (k) jzkj)) 2. tétel Tegyük fel, hogy létezik csak megoldás az optimalizálási feladatra (9) A δ R k + 2 vektor akkor és csak akkor megoldás a (9) feladatra, ha R 1 [δ k, δ 1] T a (12) lineáris egyenlet legkisebb négyzetes megoldása. Bizonyítás Legyen δ R k + 2 a (9) feladat megoldása, ζ = R 1 [δ k, δ 1] T, és legyen ψ a lineáris rendszer legkisebb négyzetes megoldása (12) Az 1. tételből az következik, hogy XT δ y = M (k) ζ Q (k) min M (k) z Q (k) z = M (k) ψ Q (k) (14) Vegyük figyelembe a [by k, ξ 1] T = Rψ (15) és γ Rk + 2, k k = = [ξ 1, ξ k, 1 ξ j, 1] T (16) j = 1, a ( 1) van M (k) ψ Q (k) = Xγ T és 9

20 Ekkor XT δ és XT γ, és hipotézis szerint δ az egyetlen megoldás az optimalizálási problémára, majd δ = γ, ami azt jelenti, hogy [δ k, δ 1] = [ξ k, ξ 1] Ekkor Rζ = Rψ, ahonnan ζ = ψ Hasonlóképpen megmutathatjuk, hogy a (16) pontban szereplő γ az (9) optimalizálási feladat megoldása, feltéve, hogy a siempre a (12) lineáris rendszer legkisebb négyzetes megoldása 10

22. ábra: A relatív hibák átlaga 100 futtatás után, az első modell esetében és megfelel egy Gauss-zajnak 23. ábra: Az első modell relatív hibái, amelyek megfelelnek a Rician zajnak 19

24 24. ábra: A relatív hibák átlaga 100 futtatás után az első modellnél és megfelel egy Rician zajnak 25. ábra: A második modell relatív hibái, amelyek megfelelnek a Rician zajnak 20

26. ábra: A relatív hibák átlaga 100 futtatás után a második modellnél, és megfelel a Rician zajnak 27. ábra: A harmadik modell relatív hibái, amelyek megfelelnek a Rician zajnak 21

32 28. ábra: A relatív hibák átlaga 100 futtatás után, a harmadik modellnél, és megfelel egy Rician zaj feltételfeltételeknek η G η D ˆη B modell modell modell

37 Másrészt, ha x 375, akkor () () xex I 0 (x) = xx () ɛ 1 yx () () xex I 1 (x) = xx () ɛ 2, x ahol ɛ 1 19 (10 ) 7 y ɛ 2 22 (10) 7 Ez a polinomábrázolás megtalálható az Abramowitz-Stegun szövegben, [1], 378. oldal. Ha x 15, akkor xy következésképpen (x 2 4 ex 2 4 I0 (x2 4) = x ()) x 2 2 ex 2 x 2 4 I0 4 (= x () () xx 2 ()) ɛ 1 x 2 Ezután x 2 lim x Hasonlóképpen bebizonyosodik, hogy x 2 lim x 4 ex 2 4 I 0 ( x2 x 4 ex 2 4) 4 I 1 (x2 x 4) = ɛ 1 (37) 2 = ɛ 2 (38) 2 A v (x) x hányados v (x) x = [x π e I 0 (x2 x 4) + 2 x 2 4 ex 2 4 I 0 (x2 x 4) + 2 x 2 4 ex 2 4 I 1 (x2 x 4)] (39) Az egyenletekből (36), (37 ), (38) és (39) következik, hogy v (x) π L: = lim xx = 2 (ɛ 1 + ɛ 2) E r, ahol E r π 2 () (10) (10) 7 27

43 32. ábra: Szintetikus kép, a MATLAB alkalmazásával generálva 34 Szűrés validálása szintetikus képek felhasználásával Ebben a szakaszban összehasonlítást végeznek a Kazubek által eredetileg kifejlesztett szűrő és a módosított változat teljesítménye között. és Zajos képeket hoznak létre Rice zaj hozzáadásával a szintetikus képhez. A zajt a J e (m, n) = (J (m, n) + e 1) 2 + e 2 2, (45) egyenlet generálta, ahol J (m, n) a zaj nélküli érték, és e 1 és e 2 véletlenszerű számok, amelyek megfelelnek a Gauss-eloszlásnak, nulla átlaggal és szórással σ Fontos megjegyezni, hogy a képen a szürke szintek 0 és 88 között vannak Öt σ szinteket használunk, σ = [1, 2, 5, 8, 12] A szakirodalomban leggyakrabban megjelenő öt indexet figyelembe vették a szűrők teljesítményének összehasonlításához: jel/zaj arány (SNR), csúcsjel zaj arány (PSNR), négyzetes középérték hiba (RMSE), átlagos abszolút ror (MAE) és a strukturális hasonlósági index (SSIM) Adott két n x n y dimenziós képet, egy r (x, y) referencia képet és egy második t (x, y) képet, amely az első zavaraként tekinthető; a PSNR, RMSE és MAE mennyiségeket 33 adja meg

45 σ = 1 σ = 2 σ = 5 σ = 8 σ = 12 eredeti hiba Kazubek algoritmus módosítása a Kazubek algoritmuson 31. táblázat: SNR (r, t) az eredeti kép és a szûrett kép között σ = 1 σ = 2 σ = 5 σ = 8 σ = 12 eredeti hiba Kazubek algoritmus módosítása a Kazubek algoritmushoz 32. táblázat: PSNR (r, t) az eredeti kép és a szűrt kép között σ = 1 σ = 2 σ = 5 σ = 8 σ = 12 eredeti hiba Kazubek algoritmus módosítása a Kazubek algoritmushoz 33. táblázat: RMSE (r, t) az eredeti kép és a szűrt kép között σ = 1 σ = 2 σ = 5 σ = 8 σ = 12 eredeti hiba Kazubek algoritmus módosítása a Kazubek táblázat algoritmusához 34: MAE (r, t) az eredeti kép és a szűrt kép között σ = 1 σ = 2 σ = 5 σ = 8 σ = 12 eredeti hiba Kazubek algoritmus módosítása a Kazubek algoritmusra 35. táblázat: SSIM (r, t) között az eredeti kép és a szűrt kép 35

46 σ = 1 σ = 2 σ = 5 σ = 8 σ = 12 eredeti hiba 326% 652% 1625% 2616% 3917% Kazubek algoritmus 211% 399% 938% 1441% 1947% Kazubek algoritmus módosítása 205% 379% 857% 1305% 1731% 36. táblázat: Az RMSE-számítás százalékos hibája a képek és az eredeti szintetikus kép között σ = 1 σ = 2 σ = 5 σ = 8 σ = 12 eredeti hiba 442% 882% 2207% 3537% 5294% Kazubek algoritmus 237% 444% 1055% 1626% 2111% módosítás a Kazubek algoritmusban 230% 423% 1000% 1526% 1948% 37. táblázat: A MAE kiszámításának százalékos hibája a képek és az eredeti szintetikus kép között 33. ábra: Az érintett kép felett σ = 2-nek megfelelő zajjal. A 36 Kazubek-szűrő módosításával talált szűrt kép alatt

47 35 A szűrő teljesítménye egy valós MRI képen 34. ábra: MRI agykép és két kiválasztott érdeklődési terület Az alábbiakban bemutatott agykép egy valós MRI kép, amelyre az általunk alkalmazott szűrőt alkalmazzuk, ebben a szakaszban. értékelni annak teljesítményét olyan képeken, amelyek nem a szimulációkból származnak 1 Az eredeti kép és a szűrt kép közötti különbségek számszerűsítésével az alábbi értékeket kapjuk a felső részen elhatárolt régióhoz: RMSE = 4287 MAE = 3399 SSIM = 0938, és az alul elhatárolt régióért RMSE = 4261 MAE = 3396 SSIM = köszönetet mondok Thomas M Deserno professzornak az Uniklinik RWTH-ból (Aachen, Németország), hogy megadta ezt és más klinikai képeket

48 35. ábra: Az eredeti kép érdeklődési területe a bal oldalon látható Az eredeti kép érdekes régiója a jobb oldalon látható 36. ábra: Az eredeti kép érdeklődési területe a jobb oldalon látható. 38. kép

41. ábra: Fent, balra és jobbra, az első és a harmadik visszhang, illetve az ötödik visszhangra 42. ábra: A jobb oldali grafikonon az intenzitásszint csökkenései láthatók, amelyek megfelelnek a bal oldali ábra 41

52 43. ábra: Az érdeklődési terület a felső részen látható. A bal alsó részben a Prony módszer variánsának alkalmazásakor kapott grafikon látható. A jobb alsó részen a visszhangokon látható a szűrő alkalmazásával kapott megoldás, A Prony módszer variánsának használata előtt 44. ábra: Az érdeklődési terület a felső részen látható. A bal alsó részben a Prony módszer variánsának alkalmazásával kapott grafikon látható. A jobb alsó részen a szűrő látható a visszhangokon, mielőtt a Prony módszer változatát alkalmaznánk 42

53 45. ábra: A hatodik echo ROI1 régió és a ROI2 régió képe a 43 alatt

54 46. ábra: A valószínűségi sűrűség függvényei, amelyek megfelelnek a ROI1 és a ROI2 értékeknek Felső: eredményt közölték a [19] középen: Prony módszerrel nyert megoldás szűrési folyamat nélkül

56 Az mri2 szekvencia paraméterei echo times flip angle 30 képtípus M inu-mező A visszhangok száma 1 százalék inu 0 százalékos zaj 3 fantom: msles3 véletlen mag 0 referencia szövet 0 szkennelési technika SFLASH szeletvastagság 2 ti tr: 2500 szekvencia paraméterei mri3 visszhang idők átfordulási szög 30 képtípus M inu-mező A visszhangok száma 1 százalék inu 0 százalék zaj 1 fantom: msles3 véletlen mag 0 referencia szövet 0 szkennelési technika SFLASH szeletvastagság 2 ti tr:

57 Az mri4 echo idők átfordítási szögének paraméterei 30 képtípus M inu-mező A visszhangok száma 1 százalék inu 0 százalékos zaj 0 fantom: msles3 véletlen mag 0 referencia szövet 0 szkennelési technika SFLASH szeletvastagság 2 ti tr: 2500 mri1 mri2 mri3 mri4 százalék zaj: 3 százalék zaj: 3 százalék zaj: 1 százalék zaj: 0 százalék inu: 20 százalék inu: 0 százalék inu: 0 százalék inu: 0 42. táblázat: Különbségek a Brain-Web 47 által generált szintetikus képek zajszintjében

58. ábra: Az 48. mri1 szekvencia első, negyedik és ötödik visszhangjának képei

59 48. ábra: A fenti BrainWeb régiótól a ROIw1, a közepén a ROIw2 és a 49 alatti ROIw3 képeket kérték