Naukas
Sok helyzetben a statisztikákat kishúgként tekintik a matematikára. Gondolok például a spanyol középfokú oktatás akadémiai programjaiban meglévő különbségtételre az A és B matematika között (a hallgatók ismerik, nem vicc nélkül, könnyű matematikának és nehéz matematikának). A fő különbség az, hogy az úgynevezett könnyűek több statisztikát és kevesebb elemzést tartalmaznak.
E bizonyos társadalmi hiteltelenség ellenére a statisztika és különösen a valószínűségelmélet rendkívül gazdag és meglepően összetett ág, amely rengeteg olyan jelenséget idéz elő, amelyek látszólag ellentmondanak az intuíciónak.
Ebben a cikkben a középszerűség fogalmára fogok összpontosítani, amely a valószínűség szinte minden gyakorlati alkalmazásában többé-kevésbé rejtve jelenik meg, és az értelmezésének megkísérlésekor felmerülő sok félreértésből ered, egy nagyon mély fogalom mellett. fizikai.
Az esélyeket számolással számítják ki
Nos, számolás és osztás, de ez utóbbi elvégezhető egy számológéppel. Végül is egy esemény valószínűségét úgy definiáljuk, hogy az adott eseménynek kedvezõ esetek számát elosztjuk a lehetséges esetek számával.
Így annak a valószínűsége, hogy egy érme [1] dobálásakor fejeket szerezzen, 1: 2 (0,5), mivel az összes lehetőség 2 (fej vagy farok), amelyek közül csak egy fej. [1] Az egyik érme, kocka stb. ennek a cikknek a trükkje lesz.
Ha most meg akarjuk számolni a 6-os gurulásának valószínűségét a szerszám tekercsén, használhatunk egy olyan diagramot, mint a következő:
Innen gyorsan következik, hogy a valószínűség 1/6.
Dolgozhatunk valamivel bonyolultabb eseményekkel is, például a páros szám megszerzésének valószínűségével, ebben az esetben:
Mivel a valószínűség ebben az esetben 3/6, azaz 0,5.
A számlálás egyszerű, nem igaz?
Világos tehát, hogy a valószínűségek kiszámításához elég számolni a lehetséges eseteket, és mindannyian tudjuk, hogyan kell számolni ... vagy legalábbis úgy gondoljuk. A matematikához kevésbé közel álló olvasó meglepődve olvashatja el, hogy a számolás nem könnyű, legalábbis nem mindig. A lehetséges esetek megszámlálása nagyon nehéz lehet, sőt létezik a matematika egy ága, a kombinatorika, amelyet kizárólag a számolás művészetének szenteltek.
Próbáld meg például megszámolni, hogy hány vendéget ültethetsz le 100 vendégre egy esküvőn, ha 10 asztalra osztod őket. A probléma számít, de a válasz nem egyértelmű.
De, álljon meg! Ez egy népszerű cikk ... az előző bekezdésben már eleget kínoztunk az olvasóval. Felejtsük el a tekercses eseteket, és koncentráljunk egy alapvető és fontosabb problémára: mikor számolunk, mit számolunk?
Tegyük fel, hogy arra kérlek benneteket, hogy számoljátok meg, hány fa van az utcán. Mi van, ha most megkérem, hogy számolja meg, hány ág? És hány levél? Mindhárom esetben pontosan ugyanazokat az objektumokat nézi, de a számok attól függően változnak, hogy miként jelöljük a halmazokat ... mi vonzza az érdeklődésünket minden esetben.
Mélyen egészen nyilvánvaló dolog, nem lehet megmondani, ha nem tudja, mit akar mondani.
A középszerűség betör: csúnya számok
Az ünnepek beköszöntével sokan rendkívüli veszélynek tesszük ki magunkat: munkatársaink delegálnak minket arra, hogy tizedikre válasszunk egy számot a vállalati sorsoláshoz. Közülünk, akik hozzám hasonlóan tudnak a valószínűségekről, világos, hogy nem mindegy, hogy pontosan melyik számot választjuk, és az egyetlen bizonyosság, hogy bármi is legyen, akadnak olyan kollégák, akik szemrehányásokat tesznek ránk, hogy ilyen rosszat választottunk szám.
De hogyan lehet egy lottó száma többé-kevésbé rossz, mint egy másik? A szokásos trükkök mellett gyakran hallani, hogy a nyerő számok mindig csúnyák. Ez alatt azt értik, hogy a nyertes számok ritkán feltűnő számok (bármilyen okból is), például 00000, 12345 vagy 31416 ... annak ellenére, hogy a matematikusok, azok az okosok ragaszkodnak ahhoz, hogy ugyanolyan valószínűek, mint bármely más.
Az ok pedig ilyen egyszerű, még annak tisztázása nélkül is, hogy mit jelent ez a csúnya szám, sokkal több csúnya szám van, mint szép szám. Mint amikor az ágakat fákba csoportosítottuk, a valószínűségek is változnak, mert az általunk számlált halmaz változik. Természetesen a mögöttes jelenség azonos, és esélyünk van arra, hogy megnyerjük a lottót, csúnya számokat játszva pontosan ugyanolyanok, mintha más játékkal játszanánk.
Ez az egyensúlyhiány a csúnya, közepes esetek és a gyönyörű, különleges esetek között véletlenszerű jelenségek sokaságában jelenik meg. És amint látni fogjuk, messze túlmutat a szerencsejáték és a fogadások területén.
A középszerűség gyorsan növekszik: példa érmékkel
Képzelje el, hogy több érmét dobunk, és úgy gondoljuk, hogy egy dobás akkor szép, ha az összes érme fej vagy az összes érme farok.
Az alábbi táblázat összefoglalja a 2, 3 és 4 érmék összes lehetséges játékát, zöld színnel jelölve a gyönyörű játékokat:
Mint láthatjuk, a gyönyörű darabok egyre inkább "feloldódnak" a csúnya, középszerű darabok sokasága között, ahogy az érmék száma növekszik. Minél több érme, annál valószínűtlenebb, hogy szép állapotot találjon.
Érdekes módon az ésszerű meghatározások túlnyomó többségében, hogy mi a szép állam, ez a viselkedés érvényesül.
A középszerűség mint fizikai "erő"
A fizikának, a statisztikai mechanikának vagy a statisztikai fizikának van egy egész ága, amely állandóan az általunk fejlesztettekhez hasonló érvelést alkalmaz meglepően pontos következtetések levonására.
Első alkalmazásai a gázok vizsgálatában merültek fel.
A gáz nagyon nagy részecskekészletként értelmezhető, amelyek mindegyike bizonyos sebességgel és pozícióval rendelkezik, amelyek idővel fejlődnek, például megpattannak közöttük és az őket tartalmazó burkolat falai között.
Egy egyszerű becslés lehetővé teszi annak megállapítását, hogy egy mól részecske pozícióinak és sebességének tárolásához (számanként 2 bájtot feltételezve) 10 16 Gb memória szükséges. Ez nagyjából megfelel a világ minden élő emberének 10 000 számítógépével. Arról nem is beszélve, hogy az adatok megadásáért felelős személynek milyen nehéz dolga lenne. Röviden, a közvetlen megközelítés megvalósíthatatlan. A megoldás? Fogadja el tudatlanságunkat a pozíciókról és a sebességről, és véletlenszerű változóként kezelje őket.
Egy nagyon egyszerű klasszikus példa a következő: annak valószínűsége, hogy egy másodpercen belül a szobájában lévő összes levegő részecske a szoba egyik sarkába koncentrálódik, pontosan megegyezik annak valószínűségével, hogy a részecskék olyanok lesznek, amilyenek most vannak (egy itt, egy ott stb. stb. stb.). Ugyanez a valószínűség az is, hogy valamennyien "összeesküsznek", hogy mondjuk az olvasó feje felé mutassák sebességüket, végzetes következményekkel járva.
Félnünk kell egy gyilkos légcsapástól? Miért nem fulladunk meg? Egyszerűen azért, mert a szegény levegő részecskék a közepes állapotok hatalmas katalógusában alakulnak ki, különösebb sajátosságok (vagy félelmek) nélkül. Ezen túlmenően, mivel a lehetséges állapotok száma olyan hatalmas, a középszerűségből való kijutás valószínűsége nagyon alacsony.
Közepesség, csúnyaság, rendetlenség ... vagy ahogy mi fizikusok inkább mondani szoktuk: entrópia.
És ez az, hogy a termodinamika második elvének sok-sok köze van a lottó csúnya számaihoz.