Dinamika

Tevékenységek

Olyan problémát javasolnak, amely lehetővé teszi az olvasó számára, hogy gyakoroljon egy részecske dinamikájához kapcsolódó összes szempontot.

A részecskét egy lényegében sűrített rugóból álló eszköz indítja el. Először a részecske csúszik egy vízszintes síkon. Ezután egy hurokba megy, majd ha sikerül leírni a göndörséget, akkor egy ferde síkra megy.

Feltételezzük, hogy a részecske, valamint a vízszintes és ferde síkok között van súrlódás, de a hurokban nincs súrlódás a számítás egyszerűsége érdekében.

Fizikai alapismeretek

Ebben a szakaszban elemezzük azokat a szakaszokat, amelyekben a hurok felosztható

Vízszintes sík A-B

Ha a rugót egy távolságra összenyomjuk x majd az A helyzetben elengedjük, kiszámíthatjuk a részecske sebességét a hurok B bemeneténél, az energiaegyensúly egyenleteit alkalmazva.

Az A helyzetben a részecskének csak rugalmas potenciális energiája van

Lény k a rugó rugalmas állandója, amely kinetikus energiává alakul át a B helyzetben

Az AB úton az energia elvész a súrlódás miatt

Hol x+0,7 az A és B pont közötti távolság.

A részecske mozgásának részletesebb elemzését a "Részecske mozgása a rugóval érintkezve" részben találjuk.

Hurok

Ha a részecskék sebessége a C helyzetben kisebb, mint egy minimális érték, akkor nem írja le a hurkot.

A körmozgás dinamikájának egyenleteiből megvan az

Lény NC a normál C hőmérsékleten, vagy a sín által a részecskére gyakorolt ​​erő ebben a helyzetben. A minimális sebességet akkor kapjuk meg, amikor NC= 0.

. Azután

  1. Ha a szög nagyobb, mint 90є vagy p/2.
    A q szöget a körmozgás dinamikája és az energia megőrzésének elve alapján számítják ki.

A részecske akkor szűnik meg érintkezni a hurokkal, amikor a normál erő nulla., N= 0. Ennélfogva

Ebben a pillanatban a részecske a saját súlyának egyedüli ereje alatt mozog, görbe vonalú mozgást ír le a gravitáció állandó gyorsulása vagy parabolikus lövés alatt.

A tengelyeket a hurok közepére helyezzük. Az indítási helyzet, amint az a fenti ábrán látható, az

A kezdeti sebességek az indításkor

A "Kör és parabolikus pálya" részben részletesen elemezzük a mozgások ezen érdekes kombinációját.

Az 1. és a 2. helyzetben a részecske ugyanazzal a sebességgel tér vissza B pozícióba, amellyel belépett a hurokba, mivel ahogy említettük, a huroknak nincs súrlódása.

Ferde sík

Ha a részecske leírja a hurkot, akkor sebességgel lép be a ferde síkba Ön amelyet az energiatakarékosság elvének felhasználásával számolnak

A síkra kerülve a mobil a ferde sík mentén lévő súlyösszetevő és a súrlódási erő miatt fékez. A részecske megtesz egy távolságot x a ferde sík mentén, amíg meg nem áll.

Az energiaegyensúly vagy a egyenes vonalú mozgás egyenletei lehetővé teszik számításunkat x.

Az energiamérleg alkalmazása WDE = EE-ED tisztázzuk x.

Példák

Rugóállandó k= 500 N/m

Hurok sugara R= 0,5 m

Súrlódási tényező μ= 0,2

A részecske tömegét beállítottuk m= 1 kg

Megvizsgáljuk a rugó összenyomásakor jelentkező különböző helyzeteket x.

A rugó összenyomva van x= 0,24, amikor az egérmutatót a kis vörös négyzeten működtetjük, amely egy tömeg részecskét képvisel m= 1 kg.

Az a sebesség, amellyel eléri a B pontot, a kör alakú pálya kezdete

A részecske a kör alakú pálya legmagasabb C pontján halad át

Térjen vissza a B pontba, a körpálya alsó részébe azonos sebességgel vB= 5,01 m/s, vagy szögsebessége = ω= 10,02 rad/s.

Sebességgel éri el a ferde 30є pálya D pontját

Kiszámoljuk a részecske maximális D elmozdulását a ferde sík mentén

A rugó most összenyomódott x= 0,2 m

Az a sebesség, amellyel eléri a B pontot, a kör alakú pálya kezdete

A részecske addig csúszik a kör alakú pályán, amíg a sebesség nulla vagy a reakció meg nem történik N nulla lesz. Ebben az esetben a második helyzetet elemezzük

Sebessége v ebben a helyzetben az

A részecske egy parabolát ír le, amíg össze nem ütközik a kör alakú pálya aljával.

A rugó most összenyomódott x= 0,1 m

Az a sebesség, amellyel eléri a B pontot, a kör alakú pálya kezdete

A részecske addig csúszik lefelé a körpályán, amíg a sebesség nulla

Ugyanazzal a sebességgel halad visszafelé a kör alakú pálya B részén, a B alsó szakaszon, mivel nincs súrlódás, a vízszintes pályán csúszik, és elérheti A-t, vagy korábban megállhat.

A részecske nem éri el az A pozíciót, távolabb áll meg

Állványok 47 cm távolságra B-től mérve vagy 70-47 = 23 cm távolságig A-tól mérve.

Tevékenységek

Amikor a részecske az origónál van, az egérmutatót a piros részecskére helyezzük, lenyomva a bal egérgombot, a részecskét meghúzzuk, és a rugót összenyomjuk x kívánatos. Ezután elengedi a bal egérgombot. A részecske elkezd mozogni a hurok felé.

A kísérlet újbóli megismétléséhez helyezze a részecskét az origóra az elnevezésű gomb megnyomásával Rajt.

A gomb címmel Szünet a mozgás pillanatnyi leállítására szolgál, amely akkor folytatódik, amikor ugyanazt a most megnevezett gombot ismét megnyomják Folytasd. A gombra kattintva Átadta a részecske helyzetét minden egyes időintervallumban, lépésről lépésre figyeljük meg.

A következő paraméterek módosíthatók:

  • A rugalmas állandó értéke k a dokkból, a szerkesztő vezérlőben Rugóállandó.
  • Súrlódási együttható a szerkesztés vezérlőben Súrlódási tényező, bizonyos határokon belül (0–0,7). 0 beírásával feltételezzük, hogy nincs súrlódás. Csak a vízszintes és ferde pályákon van súrlódás, de a körön nincs súrlódás.
  • A hurok sugara a szerkesztés vezérlőben Hurok sugara, a 0,2–0,5 m határon belül.
  • A részecske tömegét 1 kg-ra állítottuk be

A program rugalmas, és lehetővé teszi számunkra, hogy a dinamikában leírt szituációk többségét gyakoroljuk:

  • Az egyenletesen gyorsított egyenes vonalú mozgás dinamikája (ferde sík)
  • A körmozgás dinamikája (hurok)
  • Energiatakarékosság (hurok)
  • Energiamérleg, ha nem konzervatív erők hatnak, a súrlódási erő (ferde és vízszintes sík)

Az egérmutatóval húzza balra a kis piros négyzetet

A részecske mozgása a rugóval érintkezve

A rugót egy helyzetbe tömörítjük x0 majd elengedték. A részecske két erő hatására csúszik:

munka

a rugó által kifejtett erő kx

a mozgalommal szemben álló súrlódási erő μmg

Ha a maximális rugó összenyomás értéke x0, a részecske elmozdul, ha kx0> μmg, különben egyensúlyban marad abban a helyzetben.

A mozgás egyenlete az

Ennek a differenciálegyenletnek a megoldása az

x=NAK NEKsen (ωt)+Bcos (ωt)+μg/ω 2

Az állandók NAK NEK Y B a kezdeti feltételek alapján kerülnek meghatározásra: pillanatnyilag t= 0, x = x0 Y dx/dt= 0

Két eset fordulhat elő:

1.-A részecske megáll, mielőtt elérné az origót

2.-Hogy a részecske eléri az eredetet x= 0, végsebességgel v

A részecske pillanatnyilag megáll t = π/ω, álláspontod az

Ahhoz, hogy túllépje az eredetet, ezt teljesítenie kell x0> 2μg/ω 2

Energia szempontjából ugyanarra a következtetésre jutunk. Csak akkor, ha a rugóban tárolt energia nagyobb, mint a súrlódási erő, a részecske meghaladja az eredetet

Az a sebesség, amellyel eléri az origót x= 0 van

Ugyanaz az eredmény, amelyet az energiamérleg alkalmazásával kapunk: A súrlódási erő munkája megegyezik a végső és a kezdeti energia különbségével

Most megvizsgáljuk a második helyzetet: A részecske sebességgel tér vissza az origóhoz v0 és nyomja össze a rugót

A mozgás egyenlete az

Ennek a differenciálegyenletnek a megoldása az

x=NAK NEKsen (ωt)+Bcos (ωt)-μg/ω 2

Az állandók NAK NEK Y B a kezdeti feltételek alapján kerülnek meghatározásra: pillanatnyilag t= 0, x =0 és dx/dt=v0

A részecske leáll v= 0 pillanatban t

A trigonometrikus összefüggések figyelembevétele

A részecske végső helyzetére a következő kifejezésre jutunk

Ugyanaz az eredmény, amelyet az energiamérleg alkalmazásával kapunk: A súrlódási erő munkája megegyezik a végső és a kezdeti energia különbségével

Kör és parabolikus út

A részecske körutat ír le, ha a hurok alsó részén a sebesség az

A részecske akkor csúszik vissza, amikor

Amikor a sebesség v0 a két érték között van, a részecske áthúzódik a hurkon, leír egy parabolikus mozgást, ütközik a hurkon és újra áthúzódik a hurkon, az ábra szerint.

Ennek a komplex mozgásnak az elemzéséhez az origót a hurok közepére helyezzük, és megmérjük az X tengelytől számított szögeket, és az X tengelyre helyezzük a potenciális energia nulla szintjét.

Szögletes helyzetben θ1 a részecske megszűnik érintkezni a hurokkal, a reakcióval N Semmis

A körmozgás dinamikájának egyenlete és az energia megőrzésének elve meg van írva

Mindkét egyenletet egyesítve meghatározzuk a szög értékét θ1

A P1 megérkezése után leírja a parabolikus mozgást, a részecske sebessége és helyzete

Ütközik a hurokkal a P2 pontban, amely a parabola és a sugár kör metszéspontja. R. Emlékeztetve arra, hogy egy kör egyenlete, amikor a középpontja a koordináták kezdőpontjában van, az

x 2 + y 2 = R2

Figyelembe véve, hogy a körmozgás dinamikája

A következő egyszerűsített kifejezéshez jutunk el

A részecske repülési ideje, amíg össze nem ütközik a hurokkal

A P2 ütközési pont helyzete és a részecske sebessége megegyezik

Az ütközés után feltételezzük, hogy a sebesség normál komponense megszakad, és a részecske a sebesség tangenciális komponensével csúszik a hurok felett.

A sebesség normál komponensét a skaláris szorzat számítja ki r2v2

A helyzetvektor modul r2 a P2 pont a sugara R kerülete

A részecske végső energiája a P2 ütközési pontban

Az ütközés helyén az energia kisebb, mint a részecske energiája az indítási pontban

Az ábra a parabolikus pályákat mutatja, amelyeket a részecske követ, a kezdeti sebesség különböző értékeire v0 a hurok alján.

Hivatkozások

Gorielay A., Boulanger P, Leroy J., Játékmodellek: Az ugró inga. Am. J. Phys. 74 (9), 2006. szeptember, pp. 784-788